根号复杂度的算法

ACMer 考虑算法时总会优先考虑时间复杂度,这里介绍几个优美的根号复杂度的算法

$s(n) = \sum_{i=1}^{n} \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$

由于 $ \lfloor \frac{n}{i} \rfloor $ 的取值个数不会超过 $2\sqrt{n}$ . 所以可能存在 $O(\sqrt{n})$的算法:

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LL getsum(LL n){ // The code is simple and easy to understand
LL sum = 0;
for(LL i=1,j;i<=n;i=j+1){
j = n/(n/i);
sum += (j-i+1)*(n/i);
}
return sum;
}

事实上, $s(n)$ 表示图像 $xy=1$ 下方正整点的个数

$ \sigma_k(n) = \sum_{d|n} d^k $

  1. $ \sigma_0(n)$ 表示正因子个数
  2. $ \sigma_1(n)$ 表示正因子之和
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    LL mypow(LL x,LL n){
    LL r = 1;
    while(n){
    if(n&1) r=r*x;
    n>>=1; x=x*x;
    }
    return r;
    }
    LL getr(LL n,LL k){
    LL r = 0,d;
    for(d=1;d*d<n;++d){
    if(n%d==0) r += mypow(d,k) + mypow(n/d,k);
    }
    if(d*d == n) r+=mypow(d,k);
    return r;
    }

$ f_k(n) = \sum_{i=1}^n \sigma_k(i)$

如果我们已经得到 $ ts[n] = \sum_{i=1}^n i^k $类似问题1,我们有以下C++代码

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LL getf(LL n){
LL sum = 0;
for(LL i=1,j;i<=n;i=j+1){
j = n/(n/i);
sum += (ts[j]-ts[i-1])*(n/i);
}
return sum;
}

事实上我们有:

更一般的我们有

参考我的这篇博文

$ g(n) = \sum_{i=1}^n\psi(i) $

这里$\psi(n)$ 是欧拉函数表示小于$n$且和$n$互素的数的个数.
Euler’s 乘积公式:

我们现在开始计算 $g(n)$

我们定义

并且 $
\sum_{i=1}^n g_k(i) = \sum_{1 \leq x \leq y \leq n} 1 = \frac{n(n+1)}{2}
$ ,于是我们知道

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const int N=1000006;
LL ans[N];
void init(){
memset(ans,-1,sizeof(ans));
ans[1]=1;ans[2]=2;
}
LL getans(int n){
if(n<N&&ans[n]!=-1) return ans[n];
LL r = n*(n+1)/2;
for(int i=2,j;i<=n;i=j+1){
j = n/(n/i);
r -= (j-i+1)*getans(n/i);
}
if(n<N) ans[n]=r;
return r;
}

Problem hdu5608

已知 $ n^2 -3n+2 = \sum_ {d|n} f(d) $ 计算 $ h(n) = \sum_{i=1}^n f(i) \; mod \; 10^9+7 $

由于

我们知道

所以

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//#pragma comment(linker,"/STACK:10240000,10240000")
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <string>
#include <bitset>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<LL,LL> PLL;
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define lrt rt<<1
#define rrt rt<<1|1
#define lson l,m,lrt
#define rson m+1,r,rrt
const int N=1000006;
const int M = 1e9+7;
const int inv3 = (M+1)/3;
int ans[N];
map<int,int> mp;
void init(){
for(int i=0;i<N;++i){
ans[i] = LL(i-1)*(i-2)%M;
}
for(int i=1;i<N;++i){ // Pretreatment acceleration
for(int j=i<<1;j<N;j+=i){
ans[j] -= ans[i];
if(ans[j] < 0) ans[j] += M;
}
}
for(int i=2;i<N;++i){
ans[i] += ans[i-1];
if(ans[i] > M) ans[i] -= M;
}
}
int getans(int n){
if(n<N) return ans[n];
map<int,int>::iterator it = mp.find(n); //Memory search
if (it != mp.end()) return it->second;
int r = LL(n)*(n-1)%M*(n-2)%M*inv3%M;
for(int i=2,j;i<=n;i=j+1){
j = n/(n/i);
r -= LL(j-i+1)*getans(n/i)%M;
if(r<0) r+=M;
}
mp.insert(pair<int,int>(n,r));
return r;
}
int main(){
init();
int T,n;
cin>>T;
while(T--){
scanf("%d",&n);
cout<<getans(n)<<endl;
}
return 0;
}

感谢Zimpha提出上述1-4算法

如有帮助,烦请资瓷(一块也是爱0.0)