大一学了矩阵之后,一直很喜欢它,因为它形式简洁优美,又不缺乏技巧,是抽象和具体的桥梁,又有其实用性,成为现代数学最基础的工具之一。个人认为,矩阵中最优美的定理非 Cayley-Hamilton 定理(矩阵的特征多项式是它的一个化零多项式)莫属了。

交换环上的矩阵都有 Cayley-Hamilton 定理成立

详细表述和证明如下:

设$\lambda I - A$的 伴随矩阵 为 $B$,则$B$中元素为关于 $\lambda$ 的次数小于 $n$ 的多项式,不妨设

所以

又因为 $B$ 是 $A$ 的伴随矩阵,我们有 $(\lambda I - A)B = det(\lambda I - A) I$

比较系数得到:

对上式分别左乘$ A^n,A^{n-1},\cdots,A,I$得到:

再将上式相加得到最终结果

上述定理优美在于从形式上,$\phi(\lambda)=det(\lambda I - A)$ 取 $\lambda = A$ 带入恰好也是 0(注意数字 0 和零矩阵的差别)虽然说这样做是完全没有道理。作为直接推论我们知道,一个 $n$ 阶方阵的任何次方都可以被它的不超过 $n$ 次的幂线性表出。