Cayley-Hamilton定理

大一学了矩阵之后,一直很喜欢它,因为它形式简洁优美,又不缺乏技巧,是抽象和具体的桥梁,又有其实用性,成为现代数学最基础的工具之一。个人认为,矩阵中最优美的定理非Cayley-Hamilton定理(矩阵的特征多项式是它的一个化零多项式)莫属了。

交换环上的矩阵都有Cayley-Hamilton定理成立

详细表述和证明如下:

设$\lambda I - A$的伴随矩阵为$B$,则$B$中元素为关于$\lambda$的次数小于$n$的多项式,不妨设

所以

又因为$B$是$A$的伴随矩阵,我们有 $ (\lambda I - A)B = det(\lambda I - A) I $

比较系数得到:

对上式分别左乘$ A^n,A^{n-1},\cdots,A,I$得到:

再将上式相加得到最终结果

上述定理优美在于从形式上,$\phi(\lambda)=det(\lambda I - A)$ 取 $\lambda = A$ 带入恰好也是0(注意数字0和零矩阵的差别)虽然说这样做是完全没有道理。作为直接推论我们知道,一个n阶方阵的任何次方都可以被它的不超过n次的幂线性表出。

如有帮助,烦请资瓷(一块也是爱0.0)