仅在一点连续的函数例子

在一元微积分中,有一个广为人知的结论:一元函数在一点可导,必在该点连续,即可导必连续。那么自然会有这样一个问题:

一元函数在一点可导能否推出它在该点的一个小邻域连续呢?

这个想法是很自然的,不严格的思考可能会认为应该是对的,但是它并不成立。下面给出一个反例:

其中$D(x)$为Dirichlet函数。

容易验证函数$f(x)$在$x=0$处可导,但在$x \neq 0$处不连续,从而否定了上述问题。

最后,类似地,我们还可以通过Dirichlet函数构造$\mathbb{R}$上一些仅在有限个点连续的函数。也可以通过周期函数构造仅在所有整数点连续的函数。但是由Baire纲定理可以证明,不存在在所有有理数点连续,无理点间断的函数。最后Riemann函数给出了一个在所有有理数点间断,无理点连续的函数。这些反例使得人们对函数连续的概念有了更感性的认识。

欧尼酱,人家想喝可乐!