相对公平的席位分配

“公平”的席位分配首先本来就是不可能的,公平一般是无法达到的,我们只是尽量降低不公平度,那么我们怎么衡量不公平度呢。就像评价一个人,有不同的指标,不公平度也是一样,这里介绍一种相对合理易于接受,且好判断的方法。

问题表述

某学校三个系部学生共200名,(甲系100,乙系60,丙系40)代表会议共20席,按比例分配三个系分别为10、6、4席。但是情况变为下列情况怎样分配才是最公平的,现因学生转系三系人数为103、63、34。

  1. 问20席该如何分配 ?
  2. 若增加21席又如何分配 ?

显然,因为无法整除无论如何分配都不公平。下面说一下几种策略。

策略一: 按班级人数比例乘以总人数,小数点大的分得多余的一个位子。

某校 甲系 乙系 丙系
共200人 103 63 34
人数比例 51.3 31.5 17
20席位 10.3 6.3 3.4
实际分配 10 6 4
21席位 10.82 6.62 3.57
实际分配 11 7 3

按照上述策略,会出现席位增多而丙系的席位却减少了一个的不合理现象,说明此方法并不合理。

模型建立

假设只有A、B两个单位分配席位的情况,设两方人数$m_1,m_2$ ,分配到的席位为 $n_1,n_2$。

  1. $\frac{n_1}{m_1} = \frac{n_2}{m_2}$ 公平,但是一般是不满足的。

  2. $\frac{n_1}{m_1} > \frac{n_2}{m_2}$ 对A不公平。

  3. $\frac{n_1}{m_1} < \frac{n_2}{m_2}$ 对B不公平。

绝对不公平度

但这样做还是有不足,例如
某两个单位的人数和席位为 $n_1=n_2=10,m_1=120,m_2=100$ 算得 $d=2$.
另两个单位的人数和席位为 $n_1=n_2=10,m_1=1020,m_2=1000$ 算得 $d=2$。
但是显然,第二种情况更公平,但是(绝对)不公平度却是一样的不合理

相对不公平度

  1. 若 $\frac{n_1}{m_1} < \frac{n_2}{m_2}$ 则
  1. 若 $\frac{n_1}{m_1} > \frac{n_2}{m_2}$ 则我们的目标是让$r_A,r_B$(每种分配只会有一个)最小。

策略二

假设当前 $\frac{n_1}{m_1} < \frac{n_2}{m_2}$ 对A不公平。新增了一个席位。

  1. 若 $\frac{n_1 + 1}{m_1} \leq \frac{n_2}{m_2}$ 则A加1席
  2. 否则此时
    • 若分配给A,则对B的不公平值(相对):
    • 若分配给B,则对A的不公平值(相对):

我们定义 $Q_i = \frac{m_i ^2}{n_i(n_i+1)}$,那么分配给B等价于$r_A(n_1,n_2+1)<r_B(n_1+1,n_2)$ 等价于$Q_1 < Q_2$。即我们应该将席位分配给 $Q$ 值较大者。

讲$Q_i$定义成$Q_i = \frac{n_i(n_i+1)}{m_i ^2}$ ,然后找最小的比较合理,不过这样会有小数点太长,所以没这么做

模型求解

先按照平均原则取整之后。分出了19席:$n_1=10,n_2=6,n_3=3$
第20席:

则分配:$n_1=11,n_2=6,n_3=3$
第21席:$Q_1=80.4, Q_2 = 94.5, Q_3 = 96.3$
则分配:$n_1=11,n_2=6,n_3=4$.

相对不公平度有很多变种,从而策略二有很多变种(最后计算发现都一样)

莫非策略二就是天选之子0.0

本文参考文库1文库2。修改了其中的错误,由于席位分配问题确实是一个经典问题,故在此记录。

其实作为分配者,如果你倾向X,那你就选择让X收益最多的策略,反正策略一看上去也挺合理的,实在不行的话,再强行找花头…

如有帮助,烦请资瓷(一块也是爱0.0)