快速数论变换（FNT）

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快速数论变换（FNT）是环 $\mathbb{Z}/ m \mathbb{Z}$ 上的 Fourier 变换（FFT）。
至于 快速 Fourier 变换是怎样的有什么用处，这里就不多说了，可参考这里。

NFT 的核心问题

无论是 FNT 还是 FFT 其本质其关键就是寻找一个 $w$ 使得 $w^{2^n} = 1$。在复数域中这个问题是显然的，而在一个环那就不那么简单了，这里我们考虑环 $R = \mathbb{Z}/ m \mathbb{Z}$。$R$ 为域当且仅当 $m$ 为素数。我们的问题是

  1. 我们选取 $R$ 中找比较大（满足我们的需求）的 $n$ 使得 $w^{2^n} = 1$ ；
  2. 找出对应的“原根“；
  3. 类似 FFT 的处理
  4. 应用时各种可能出错的情形，最常见的是溢出,还有只适用于数据范围不超过P的非负整数。

NFT 问题解决

为使得分析问题更为简单，我们考虑在$m = p$ 为素数的情形，此时，我们有 $2^n \mid p-1$ 即 $p=k 2^n+1$ 为(Fermat)素数，例如：

  1. $p=479 \times 2^{21} +1 = 1004535809,g = 3$
  2. $p= 13 \times 2^{20} + 1 = 13631489,g = 15$
  3. $p= 17 \times 2^{27} + 1 = 2281701377,g=3$
    更多常数选择可见这里。

最终我们选择了 $FM = 1004535809$ 它的优势在于,它的两倍不超过 int 它的乘积不超过 long long 很有利于我们的运算，如果使用刚好不超过 long long 的数使用时很容易出现溢出并不方便。并且它恰好比较大。避免了做完 FFT 出现溢出。另外它可以取到的最大的 $N>2e6$ 也很不错。例如现在如果我们要做 $2^k,k \leq 21$ 的 NFT。那么我们取 $w = g^{\frac{p-1}{2^k}}$ 即可。

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const int N=132005;
char sa[N>>1],sb[N>>1];
LL a[N],b[N];
LL pow_mod(LL x,LL n,LL p){
    LL r=1;
    while(n){
        if(n&1) r=r*x%p;
        n>>=1;  x=x*x%p;
    }
    return r;
}
void change(LL *x,int len,int loglen){
    for(int i=1;i<len;++i){
        int t=i,k=0;
        for(int j=0;j<loglen;++j,t>>=1){
            k=(k<<1)|(t&1);
        }
        if(k<i) swap(x[i],x[k]);
    }
}
const LL FM = 479<<21|1;
void nft(LL *x,int len,int loglen,bool isInverse){
    LL g = pow_mod(3,(FM-1)>>loglen,FM);
    if(isInverse){
        g=inv(g,FM);
        LL invlen = pow_mod(len,FM-2,FM);
        for(int i=0;i<len;++i){
            x[i]=x[i]*invlen%FM;
        }
    }
    change(x,len,loglen);
    for(int step=2;step<=len;step<<=1){
        int half = step>>1;
        LL wn = pow_mod(g,len/step,FM);
        for(int i=0;i<len;i+=step){
            LL w = 1;
            for(int j = i;j<i+half;++j){
                LL t=(w*x[j+half])%FM;
                x[j+half]=(x[j]-t+FM)%FM;
                x[j]=(x[j]+t)%FM;
                w = w*wn%FM;
            }
        }
    }
}
int main(){
    while(~scanf("%s%s",sa,sb)){
        int alen=(int)strlen(sa);
        int blen=(int)strlen(sb);
        int len=1,loglen=0,tmp=alen+blen+3;
        while(len<tmp){
            len<<=1;++loglen;
        }
        clr(a,0);clr(b,0);
        for(int i=0;i!=alen;++i)    a[i]=sa[alen-i-1]-'0';
        for(int i=0;i!=blen;++i)    b[i]=sb[blen-i-1]-'0';
        nft(a,len,loglen,0);
        nft(b,len,loglen,0);
        for(int i=0;i!=len;++i){
            a[i] = a[i]*b[i]%FM;
        }
        nft(a,len,loglen,1);
        int cnt=0;
        while(cnt<len){
            a[cnt+1]+=a[cnt]/10;
            a[cnt]%=10;++cnt;
        }
        cnt=alen+blen;
        while(cnt>1&&a[cnt-1]==0)    --cnt;
        for(int i=cnt-1;i>=0;--i){
            putchar((int)a[i]+'0');
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}
欧尼酱，人家想喝可乐！