有限整环是域

有限整环是域,这是一个相当深刻的定理,被称为 Wedderburn’s little theorem。介绍如下。

有限整环是体

设 $D$ 是有限整环(不要求交换),下证 $D$ 是体。
证明:对任意 $0 \neq a \in D$,考虑 $a,a^2,a^3,..,a^n,…$ 由于 $D$ 是有限环,因此存在 $n,r > 0$ 使得 $a^{n+r} = a^n$ 即 $a^n(a^r-1)=0$ 由于 $D$ 是整环,$a \neq 0$,因此 $a^r =1$ ,所以 $a$ 可逆,证毕。

有限体是域

设 $K$ 是有限体。$Z$ 是它的中心,即

则,$Z$ 是域。令 $|Z|=q$,则 $K$ 是 $q$ 元域上的有限维向量空间,设维数为 $n$,则 $|K|=q^n$。我们需要证明 $K=Z$, 即证明 $n=1$。
对任意 $a \in K$,令 $N(a) = \lbrace x \in K \;|\; ax = xa \rbrace$ ,这显然是 $K$ 的一个子体。并且包含 $Z$。因此 $N(a)$ 也是 $Z$ 上的有限维向量空间。从而 $N(a)=q^{n(a)},n(a) \geq 1$。由于 $K^{\star}$ 为 $q^n-1$ 阶乘法群,$N(a)^{\star}$ 为 $K^{\star}$ 的 $q^{n(a)}-1$ 阶子群,因此 $q^{n(a)}-1 \;|\; q^n-1$,因此 $n(a)|n$。
将乘法群 $K^{\star}$ 中的元素分成共轭类,从群论的角度,与 $a \in K^{\star}$ 共轭的元素有 $[K^{\star} :N(a)^{\star}] = \frac{q^n-1}{q^{n(a)}-1}$,从而每个共轭类取一次,共轭类集合记作$X$,我们有

我们需要证明的是当 $n>1$ 时上式不成立。为此我们先介绍分圆多项式的知识。

即 $P_n(x)$ 是以全部 $n$ 次本原单位复根(共 $\phi(n)$ 个)为根的首一多项式。易知

由数论函数的Mobius变换,(取对数或指数来切换乘积和相加)可知

于是 $P_n(x)=f(x)/g(x)$ 其中 $f(x),g(x)$ 都为 $\mathbb{Z}[x]$ 中的首一多项式。另一方面,按照定义,$P_n(x) \in \mathbb{C}[x]$ ,从而在 $\mathbb{C}[x]$ 中 $g(x) \;|\; f(x)$。比较系数易知,$P_n(x)$ 为 $\mathbb{Z}[x]$ 中首一多项式。

因为对任意 $d\;|\;n,0<d<n,P_n(x)$ 的每个根都是 $x^n-1$ 的根,但不是 $x^d-1$ 的根,从而

因此 $P_n(q)\;|\;q-1$, 但当 $n>1$ 时,

矛盾,证毕。

这个定理也可以表述为:一个有限环,如果它不是域,那么它必然存在零因子。

欧尼酱,人家想喝可乐!