五引理

在同调代数中,Five lemma,Snake lemma,Nine lemma (五引理,蛇形引理,马蹄引理)都是重要的引理。这里介绍一下 五引理。其实它的一般形式是有两个四引理得出的。

以下范畴为:Abel范畴(这里仅在模范畴中考虑,此时 monic 即为单同态,epic 即为满同态)。

五引理

若下交换图中每一行都正合且$f$ epic,$q$ monic, $g,p$ isomorphism,then $h$ is isomorphism.
五引理

五引理的特殊形式

若下交换图中每一行都正合且$f,h$ isomorphism,then $g$ is isomorphism.
五引理特殊形式

两个四引理及其证明

  1. 若下交换图中每一行都正合且 $f$ epic,$p$ monic, $g$ monic,then $h$ is monic.
    四引理1
    $\forall c \in C$, 若 $h(c) = 0$, 则 $pw(c)=w’h(c)=0$, 因为 $p$ monic, 因此 $w(c)=0$, 又由行正合知,$\exists b \in B$ 使得 $v(b)=c$,因此 $v’g(b)=hv(b)=h(c)=0$, 由行正合知, $ \exists a’ \in A’ $ 使得 $u’(a’)=g(b)$,由 $f$ epic 知 $\exists a \in A$ 使得 $f(a) = a’$. 因此 $gu(a) = u’f(a)=g(b)$. 又由 $g$ monic 知, $b = u(a)$. 因此 $c = vu(a) = 0$. 证毕。

  2. 若下交换图中每一行都正合且 $g$ epic,$q$ monic, $p$ epic,then $h$ is epic.
    四引理2
    $\forall c’ \in C’$, 因为 $p$ epic, 知 $\exists d \in D$ 使得 $p(d) = w’(c’)$, 所以 $qs(d) = s’p(d) = s’w’(c’) = 0$, 又 $q$ monic, 因此 $s(d) = 0$, 由行正合知, $\exists c \in C$,使得 $w(c) = d$.因此 $w’(c’-h(c))=w’(c’)-w’h(c)=p(d)-pw(c)=0$. 由行正合知,$\exists b’ \in B’$ 使得 $v’(b’) = c’ - h(c)$, 又由 $g$ epic 知 $\exists b \in B$ 使得 $g(b) = b’$ 因此 $hv(b)= v’g(b) - v’(b’)=c’-h(c)$. 即 $c’=h(v(b)+c)$. 证毕。

四引理记忆方法: 左满右单,两满夹一满,两单夹一单。

显然上述两个四引理显然可推出五引理。

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