自然数方幂和公式

关于自然数方幂和公式,网上的求解版本有很多种。这里介绍一种不为人知,十分简洁明了的求解方法,该公式并非原创,但是整个证明过程和方法完全原创。它的思想来源于我高中时在一本数学竞赛书中的数列例题(书名忘了…),正因为一本本这样的书,让我大学选择了数学系,现在依然在学习数学。

若 $a_n = n(n-1)$ 求其前 $n$ 项和$S_n$

所以

受到上面做法的启发,我们推广到一半形式:

若$a_n = A_n ^p$,则其前 $n$ 项和 $S_n = \frac{ A_{n+1} ^{p+1}}{p+1}$

所以

由上面的结论,我们可以直奔主题了

求 $1^2+2^2+ \dots + n^2$

同理我们可以推广上面做法

求$1^p+2^p+ \dots + n^p$

因此问题的关键就转化成如何求解数组 $a_k ,k=1,2,\cdots,p$
我们发现当 $n=k$ 时成立

令 $b_k = k! \cdot a_k$ 则

应用二项式反演知(我的博文

因此最终,我们有公式

妙呀,帅的呀,猛的呀,不谈了呀,哈哈哈

欧尼酱,人家想喝可乐!