点灯问题之高斯消元法

在知乎的数学&算法专栏里看到点灯游戏的$O(n^3)$算法 ,觉得挺有意思,特此记录,并且补充代码

点灯游戏简介

一层大楼共有$n \times n$个房间,每个房间都有一盏灯和一个按钮。按动一个房间的按钮后,这个房间和周围四个相邻的房间的灯的状态全部都会改变(由暗变为亮或者亮变为暗)。目标是通过按按钮把所有的灯都点亮(默认情况下全暗)。求点灯方案。

  1. 全局枚举,复杂度 $O(2^{n^2})$
  2. 首行枚举,复杂度 $O(2^n)$ ,由于第一行的方案就决定了下一行的方案
  3. 线性方程组求解,复杂度 $O(n^6)$
  4. 上述线性方程组求解可以转化成$n$ 个变量的线性方程组,复杂度 $O(n^3)$

以上内容取自 点灯游戏的$O(n^3)$算法

最终方案做法概括:$n^2$ 个方程 $n^2$ 个未知数的线性方程组,由于用第$i$行的方程可以将第$i+1$行的未知数表示成前 i 行的线性组合,从而是第一行的现行组合,这样到最后一行。最后一行的方程还未使用,从而变成了$n$个方程$n$个未知数的线性方程组。

由于方案可能不唯一,所以用Python自带的numpy以及scipy都不计算奇异矩阵。所以就自己写了高斯消元法来求解。

注意numpy数据越界的问题!

高斯消元法普通版本

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import numpy as np 
# numpy 是用C写的,所以本质是强类型的,需要注意

def tri(A, b, eps = 1e-6):
# 使A上三角,并返回A的秩 和 列变换px
n = len(A)
px = list(range(n))
for i in range(n):
j,k = i,i
while(k<n):
j=i
while(j<n and np.fabs(A[j,k])<eps): j+=1
if(j != n): break
k+=1
if(k == n): return i,px
if(i!=k):
px[i],px[k] = px[k],px[i]
A[:,[i,k]] = A[:,[k,i]]
if(j != i):
b[[i,j]] = b[[j,i]]
A[[i,j]] = A[[j,i]]
for j in range(i+1,n):
ratio = A[j,i]/A[i,i]
b[j] -= b[i]*ratio
A[j,i:n] -= A[i,i:n]*ratio
return n,px

def trisolve(A, b):
ans = b.copy()
n = len(A)
for i in range(n-1,-1,-1):
ans[i] = ans[i]/A[i,i]
ans[:i] -= A[:i,i]*ans[i]
return ans

def solve(AA, bb, eps = 1e-6):
# 求解 Ax = b ,其中A是矩阵,b是列向量
# 答案是 ans[:,0] + k[1] ans[:,1] + ... + k[n-r] ans[n-r]
#一定要类型转化,不然会很惨!
A = AA.copy()
b = bb.copy()
A = A.astype(np.float)
b = b.astype(np.float)
n = len(A)
r,px = tri(A,b,eps)
py = list(range(n))
for i in range(n): py[px[i]] = i
if(r == n): return trisolve(A,b)
for i in range(r,n):
if(np.fabs(b[i,0])>eps): return None
ans = np.matrix(np.zeros([n,n-r+1]))
ans[:r,0] = trisolve(A[:r,:r],b[:r])
for i in range(r,n):
ans[:r,i-r+1] = trisolve(A[:r][:r],-A[:r,i])
ans[i,i-r+1] = 1
return ans[py]

A = np.matrix('1,2;3,4')
b = np.matrix('2;4')
ans = solve(A,b)
print(ans)
print((b-A*ans[:,0]))
print(A*ans[:,1:])

高斯消元法模素数版本之点灯问题$O(n^3)$求解

解的个数取$\log_2$ 就是 A159257

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import numpy as np 
# numpy 是用C写的,所以本质是强类型的,需要注意

def inv(a,p): # 0<a<p and gcd(a,p)=1
if(a == 1): return 1
return (p-p//a)*inv(p%a,p)%p

def trip(A, b, p = 2): # 0 <= A[i,j] < p
# 使A上三角,并返回A的秩 和 列变换px
n = len(A)
px = list(range(n))
for i in range(n):
j,k = i,i
while(k<n):
j=i
while(j<n and A[j,k]==0): j+=1
if(j != n): break
k+=1
if(k == n): return i,px
if(i!=k):
px[i],px[k] = px[k],px[i]
A[:,[i,k]] = A[:,[k,i]]
if(j!=i):
b[[i,j]] = b[[j,i]]
A[[i,j]] = A[[j,i]]
for j in range(i+1,n):
ratio = A[j,i]*inv(A[i,i],p)%p
b[j] = (b[j]-b[i]*ratio)%p
A[j,i:n] = (A[j,i:n]-A[i,i:n]*ratio)%p
return n,px

def trisolvep(A, b, p=2): # 0 <= A[i,j] < p and 0<A[i,i]<p
ans = b.copy()
n = len(A)
for i in range(n-1,-1,-1):
ans[i] = ans[i]*inv(A[i,i],p)%p
ans[:i] = (ans[:i] - A[:i,i]*ans[i])%p
return ans

def solvep(A, b, p=2):
# 求解 Ax = b ,其中A是矩阵,b是列向量
# 答案是 a[0] + k[1] a[1] + ... + k[n-r] a[n-r]
n = len(A)
for i in range(n):
for j in range(n):
A[i,j]%=p
b[i]%=p
r,px = trip(A,b,p)
py = list(range(n))
for i in range(n): py[px[i]] = i
if(r == n): return trisolvep(A,b,p)
for i in range(r,n):
if(b[i,0] != 0): return None
ans = np.matrix(np.zeros([n,n-r+1], dtype=np.int))
ans[:r,0] = trisolvep(A[:r,:r],b[:r])
for i in range(r,n):
ans[:r,i-r+1] = trisolvep(A[:r,:r],(-A[:r,i])%p)
ans[i,i-r+1] = 1
return ans[py]

def lighton(x):
# x 是行向量
n = x.size
ans = np.matrix(np.ones([n,n]),dtype = np.int)
ans[0,:] = x
for i in range(1,n):
for j in range(n):
if(i-2>=0): ans[i,j] ^= ans[i-2,j]
ans[i,j] ^= ans[i-1,j]
if(j-1>=0): ans[i,j] ^= ans[i-1,j-1]
if(j+1<n): ans[i,j] ^= ans[i-1,j+1]
return ans

def light(n):
# n 是整数
if(n == 1): return [np.matrix('1')]
x = np.matrix(np.zeros([n,n+1]),dtype = np.int)
y = np.matrix(np.zeros([n,n+1]),dtype = np.int)
# 先处理好第一二行
for i in range(n):
x[i,i] = 1
y[i,-1] = 1
for i in range(n):
y[i,:] -= x[i,:]
if(i-1>=0): y[i,:] -= x[i-1,:]
if(i+1<n): y[i,:] -= x[i+1,:]
# 第i行由它的前两行决定
for i in range(2,n):
last = np.matrix(np.zeros([n,n+1]),dtype = np.int)
for i in range(n): last[i,-1] = 1
for i in range(n):
last[i,:] -= x[i,:]
last[i,:] -= y[i,:]
if(i-1>=0): last[i,:] -= y[i-1,:]
if(i+1<n): last[i,:] -= y[i+1,:]
x = y
y = last
# 此时 x为倒数第二行,y为倒数第一行,根据最后一行灯的情况列方程
A = np.matrix(np.zeros([n,2*n]),dtype = np.int)
for i in range(n):
A[i,i] = A[i,i+n]=1
if(i-1>=0): A[i,i-1+n] = 1
if(i+1<n): A[i,i+1+n] = 1
A = A*np.vstack((x,y))
b = np.matrix(np.ones([n,1]),dtype = np.int)
ans = np.matrix(np.zeros([n,n]),dtype = np.int)
x = solvep(A[:,:n],b - A[:,-1]).T
# x 是方程的解,也就是首行的点灯情况
cnt = 2**(len(x)-1)
ans = []
for i in range(cnt):
# 这里一定要用copy而不能直接等于
x0 = np.copy(x[0,:])
index = 0
while(i):
index+=1
if(i&1): x0+=x[index,:]
i>>=1
ans.append(lighton(x0&1))
return ans

while(1): # n = 19 时方案数 2^16 = 65536,所以会比较慢
n = int(input('输入n:'))
m = light(n)
print('方案数:'+str(len(m)))
print(m)

没学Python 之前这个操作我肯定是用Matlab做了。

不用C是因为操作矩阵的话用C还要写矩阵乘法。矩阵加法等操作,代码量大大提升。

不过没想到Python代码量也这么大,主要还是问题复杂或者说优化代码不可避免带来代码量的提高

高斯消元法对于行不满秩的情况也太繁琐了吧!怪不得它们都不实现。。。

如有帮助,烦请资瓷(一块也是爱0.0)