图论还是一个特别强的工具。 为什么没有图论的 STL?代码更新汇总

其他人的图论模板可做参考(其实我自己的够用了目前看)

存边方式

  • 不涉及删边和反边(最简单常用的情况),可以直接用 vector 邻接表 std::vector<std::vector<std::pair<int, T>>>
  • 仅涉及反向边,不涉及删边(如网络流问题),可以使用 vector 版本的链式前向星(写法特别简洁)
  • 不涉及重边(即使涉及重边也可以!其它操作随意,无向图其实也可以操作),都可以使用 vector 邻接表 std::vector<std::unordered_map<int, int>>(更快)或std::vector<std::map<int, T>>,当然了各种操作都要带个 log
  • 如果涉及重边(逻辑上没法合并的那种),就不存在反边的概念了。此时可以用链式前向星,也可以使用 最简单情况的 vector 邻接表(也支持删边,只是比较慢)无论怎么,即使不用链式前向星,这种思想还是值得学习的。

链式前向星 (弃用)

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class LinkStar {
public:
std::vector<int> head, nxt, to;
std::vector<LL> w;
LinkStar(int n) {
nxt.clear();
to.clear();
head = std::vector<int>(n + 1, -1);
}
void addedge(int u, int v, LL val) {
nxt.emplace_back(head[u]);
head[u] = to.size();
to.emplace_back(v);
w.emplace_back(val);
}
};

邻接矩阵存边(太简单就不写了)

邻接 map or unorder_map 存边(同上)

vector 版本链式前向星(见后面网络流的做法)

树上问题转化成序列问题

无根树的 Prufer 序列

A.Cayley 在 1889 年首先公布并证明 $n$ 个节点的无根树和长度为 $n-2$,数值在 $1 \to n$ 的序列有一一对应

构造方式:删除编号最小的叶子节点,并记录它的父节点。

曾在 猫咪状态数 中有记录过。CP-algorithm 中有详细的讲解和代码 无根树 和 Prufer 序列 互转的 $O(n \log n)$ 和 $O(n)$ 两类代码。

有根树的 dfs 序

本质作用: 将树上问题转化成序列问题,dfs 序是基础,Euler 序可以认为是推广。

树节点按 dfs 过程中的访问顺序排序(进入记录一次,出去记录一次),称为 dfs 序。处理子树的问题很有用。

这里 给出了 dfs 序的一些应用。

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class DfsTour {
int n, cnt;
std::vector<int> l, r;
std::vector<std::vector<int>> e;
public:
DfsTour(int _n) : n(_n), e(n), l(n), r(n), cnt(0) {}
void addEdge(int u, int v) {
if (u == v) return;
e[u].emplace_back(v);
e[v].emplace_back(u);
}
void dfs(int u, int fa) {
l[u] = ++cnt;
for (auto v : e[u]) if (v != fa) {
dfs(v, u);
}
r[u] = cnt;
}
};

其中 u 的子树的编号正好是区间 $[l_u, r_u]$

关于子树的问题,可以考虑一下 dfs 序。

  1. 在节点权值可修改的情况下,查询某个子树里的所有点权和。

    由于在上述 dfs 序中子树 x 是连续的一段 $[l_x, r_x]$,所以用树状数组:单点更新,区间查询。

  2. 节点 X 到 Y 的最短路上所有点权都加上一个数 W,查询某个子树里的所有点权和。
    可以理解为更新 4 段区间,根节点到 X,根节点到 Y,根节点到 lca(X, Y),根节点到 fa[lca(X, Y)],可以用 线段树 或 带区间更新的树状数组。

有根树的 Euler 序列(长度为 2n - 1)

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// 以 rt 为根的树,只记录进入的 Euler 序(长度为 2n - 1)
std::vector<int> EulerTour(std::vector<std::vector<int>>& e, int rt) {
std::vector<int> r;
std::function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int fa) -> void {
r.emplace_back(u);
for (auto v : e[u]) if (v != fa) {
dfs(v, u);
r.emplace_back(u);
}
};
dfs(rt, rt);
return r;
}

首先观察到这个树的 Euler 序列首尾都是根的编号,如果把首尾连接起来,就会发现:这个序列中元素出现的次数正好是它的度。并且我们可以轻松的换根节点!!!,以谁为根就以谁开始转圈!并且如果删除某个节点,那么就会形成以这个节点为度的个数的连通分支

问题 1:求 最近公共祖先(LCA)

求完 Euler 序列后,求 lca(u, v) 那就是 $E[pos[u], \cdots, pos[v]]$ 的最小值,其中 pos[u] 为 u 首次出现在 E 中的标号。那么显然我们可以用线段树 $O(n)$ 预处理,单步 $O(\log n)$ 在线查询 lca。

问题 2:求树上任意两点的距离

求完 Euler 序列的同时,我们先求出根节点和其它点的距离,由上述步骤我们能求 lca,那么树上任意两点 $u, v$ 的距离就是 d[u] + d[v] - d[lca(u, v)]

如果求树上任意两点距离之和:只需统计每条边经过多少次就行,显然等价于每条边左右两边节点个数,就不用上述做法了。

问题 3:求树上节点到根节点的最短路径点权和

树链剖分 Heavy-Light decomposition

重链剖分可以理解为 dfs 序和 Euler 序的增强优化拓展版本。

重链剖分求 LCA 的模板例题:LOJ 3379我的实现

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#include <bits/stdc++.h>
#define watch(x) std::cout << (#x) << " is " << (x) << std::endl
using LL = long long;
using namespace std;

// 为了代码简洁,树的编号以 1 开始
class LCA {
int n;
std::vector<int> fa, dep, sz, son, top;
public:
LCA(std::vector<std::vector<int>> &e, int rt = 1) : n(e.size()) {
fa.resize(n);
dep.resize(n);
sz.resize(n);
son.resize(n);
fa[rt] = rt;
dep[rt] = 0;
std::function<int(int)> pdfs = [&](int u) -> int {
sz[u] = 1;
for (auto v : e[u]) if (v != fa[u]) {
dep[v] = dep[u] + 1;
fa[v] = u;
sz[u] += pdfs(v);
if (sz[v] > sz[son[u]]) son[u] = v;
}
return sz[u];
};
top.resize(n);
std::function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int t) -> void {
top[u] = t;
if (son[u] == 0) return;
dfs(son[u], t);
for (auto v : e[u]) if (v != fa[u] && v != son[u]) dfs(v, v);
};
pdfs(rt);
dfs(rt, rt);
}
int lca(int u, int v) {
while (top[u] != top[v]) {
if (dep[top[u]] > dep[top[v]]) {
u = fa[top[u]];
} else {
v = fa[top[v]];
}
}
return dep[u] < dep[v] ? u : v;
}
};

int main() {
// freopen("C:\\Users\\dna049\\cf\\in", "r", stdin);
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(nullptr);
int n, m, rt;
std::cin >> n >> m >> rt;
std::vector<std::vector<int>> e(n + 1);
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int u, v;
std::cin >> u >> v;
e[u].emplace_back(v);
e[v].emplace_back(u);
}
LCA g(e, rt);
for (int i = 0; i < m; ++i) {
int x, y;
std::cin >> x >> y;
std::cout << g.lca(x, y) << "\n";
}
return 0;
}

重链剖分求任意两点路径上所有节点的点权和,求子树的点权和(利用 dfs 编号和 sz 直接区间查询或区间修改)

例题:LOJ 3384,参考:ChinHhh’s blog,用加强版树状数组而非线段树算的:提交记录

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#include <bits/stdc++.h>
#define watch(x) std::cout << (#x) << " is " << (x) << std::endl
using LL = long long;

LL M;
struct TreeArray {
std::vector<LL> s;
TreeArray() {}
TreeArray(int n) : s(n + 1) {}
int lowbit(int n) {
return n & (-n);
}
void add(int id, int p) {
while (id < s.size()) {
(s[id] += p) %= M;
id += lowbit(id);
}
}
LL sum(int id) {
LL r = 0;
while (id) {
(r += s[id]) %= M;
id -= lowbit(id);
}
return r;
}
};
class TreeArrayPlus {
int n;
// c[i] = a[i] - a[i - 1], b_i = (i - 1) * c_i
TreeArray B, C;
void add(int id, int p) {
C.add(id, p);
B.add(id, (id - 1) * p % M);
}
public:
TreeArrayPlus() {}
TreeArrayPlus(int _n) : n(_n), B(n), C(n) {}
void add(int l, int r, int p) {
add(l, p);
add(r + 1, -p);
}
LL sum(int id) {
return (id * C.sum(id) + M - B.sum(id)) % M;
}
LL sum(int l, int r) {
return ((sum(r) - sum(l - 1)) % M + M) % M;
}
};
// 为了代码简洁,树的编号以 1 开始
class HLD {
int n;
std::vector<int> fa, dep, sz, son, top, dfn;
TreeArrayPlus Tree;
public:
HLD(std::vector<std::vector<int>> &e, std::vector<int> &a, int rt = 1) : n(e.size()), Tree(n + 1) {
fa.resize(n);
dep.resize(n);
sz.resize(n);
son.resize(n);
fa[rt] = dep[rt] = 0;
std::function<int(int)> pdfs = [&](int u) -> int {
sz[u] = 1;
for (auto v : e[u]) if (v != fa[u]) {
dep[v] = dep[u] + 1;
fa[v] = u;
sz[u] += pdfs(v);
if (sz[v] > sz[son[u]]) son[u] = v;
}
return sz[u];
};
top.resize(n);
dfn.resize(n);
int cnt = 0;
std::function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int t) -> void {
top[u] = t;
dfn[u] = ++cnt;
if (son[u] == 0) return;
dfs(son[u], t);
for (auto v : e[u]) if (v != fa[u] && v != son[u]) dfs(v, v);
};
pdfs(rt);
dfs(rt, rt);
for (int i = 1; i < n; ++i) Tree.add(dfn[i], dfn[i], a[i]);
}
// u 到根的最短路径上所有边权值加 c
void add(int u, int c) {
while (u) {
Tree.add(dfn[top[u]], dfn[u], c);
u = fa[top[u]];
}
}
// u 到根的最短路径上所有边权值之和
LL query(int u) {
LL r = 0;
while (u) {
r += Tree.sum(dfn[top[u]], dfn[u]);
u = fa[top[u]];
}
return r % M;
}
// u, v 的最短路径上所有边权值加 c(可以通过 lca 和根来搞,但是会很慢)
void add(int u, int v, int c) {
while (top[u] != top[v]) {
if (dep[top[u]] > dep[top[v]]) {
Tree.add(dfn[top[u]], dfn[u], c);
u = fa[top[u]];
} else {
Tree.add(dfn[top[v]], dfn[v], c);
v = fa[top[v]];
}
}
if (dep[u] < dep[v]) {
Tree.add(dfn[u], dfn[v], c);
} else {
Tree.add(dfn[v], dfn[u], c);
}
}
// u, v 的最短路径上所有边权值之和(可以通过 lca 和根来搞,但是会很慢)
LL query(int u, int v) {
LL r = 0;
while (top[u] != top[v]) {
if (dep[top[u]] > dep[top[v]]) {
r += Tree.sum(dfn[top[u]], dfn[u]);
u = fa[top[u]];
} else {
r += Tree.sum(dfn[top[v]], dfn[v]);
v = fa[top[v]];
}
}
if (dep[u] < dep[v]) {
r += Tree.sum(dfn[u], dfn[v]);
} else {
r += Tree.sum(dfn[v], dfn[u]);
}
return r % M;
}
void addSon(int u, int c) {
Tree.add(dfn[u], dfn[u] + sz[u] - 1, c);
}
LL querySon(int u) {
return Tree.sum(dfn[u], dfn[u] + sz[u] - 1);
}
int lca(int u, int v) {
while (top[u] != top[v]) {
if (dep[top[u]] > dep[top[v]]) {
u = fa[top[u]];
} else {
v = fa[top[v]];
}
}
return dep[u] < dep[v] ? u : v;
}
};

int main() {
// freopen("C:\\Users\\dna049\\cf\\in", "r", stdin);
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(nullptr);
int n, m, rt;
std::cin >> n >> m >> rt >> M;
std::vector<int> a(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; ++i) std::cin >> a[i];
std::vector<std::vector<int>> e(n + 1);
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int u, v;
std::cin >> u >> v;
e[u].emplace_back(v);
e[v].emplace_back(u);
}
HLD g(e, a, rt);
for (int i = 0; i < m; ++i) {
int op, x, y, z;
std::cin >> op;
if (op == 1) {
std::cin >> x >> y >> z;
g.add(x, y, z);
} else if (op == 2) {
std::cin >> x >> y;
std::cout << g.query(x, y) << "\n";
} else if (op == 3) {
std::cin >> x >> z;
g.addSon(x, z);
} else {
std::cin >> x;
std::cout << g.querySon(x) << "\n";
}
}
// auto start = std::clock();
// std::cout << "Time used: " << (std::clock() - start) << "ms" << std::endl;
return 0;
}

长链剖分优化 DP,例题:1009F

这个题显然可以用重链剖分来做,或者说下面的 dsu on tree 来做($O(n \log n)$),但是官方题解 用长链剖分可以优化到 $O(n)$!太强了。主要原因是因为,每个轻儿子节点最多被合并一次(它第一次合并之后,它的信息就被和他同深度的重兄弟节点给吸收了),后面再合并的时候就不算它被合并而算当前重儿子节点的合并了(妙不可言)。但是父节点占据儿子节点的时候有个问题就是用 std::map 或 std::unordered_map 本质上都会带一个 log,因此我们需要用 vector 保存信息。

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#include <bits/stdc++.h>
#define watch(x) std::cout << (#x) << " is " << (x) << std::endl
using LL = long long;

#include <bits/stdc++.h>
#define watch(x) std::cout << (#x) << " is " << (x) << std::endl
using LL = long long;

// 为了代码简洁,树的编号以 1 开始。
std::vector<int> dsuOnTree(std::vector<std::vector<int>> &e, int rt = 1) {
int n = e.size();
// 预处理出重儿子
std::vector<int> sz(n), son(n);
std::function<void(int, int)> pdfs = [&](int u, int fa) -> void {
for (auto v : e[u]) if (v != fa) {
pdfs(v, u);
if (sz[v] > sz[son[u]]) son[u] = v;
}
sz[u] = sz[son[u]] + 1;
};
std::vector<int> ans(n);
std::function<std::vector<int>(int, int)> dfs = [&](int u, int fa) -> std::vector<int> {
if (son[u] == 0) {
ans[u] = 0;
return {1};
}
auto a = dfs(son[u], u);
ans[u] = ans[son[u]];
for (auto v : e[u]) if (v != fa && v != son[u]) {
auto tmp = dfs(v, u);
// 这里需要对齐
for (int ai = a.size() - 1, ti = tmp.size() - 1; ti >= 0; --ti, --ai) {
a[ai] += tmp[ti];
if (a[ai] > a[ans[u]] || (a[ai] == a[ans[u]] && ai > ans[u])) {
ans[u] = ai;
}
}
}
a.emplace_back(1);
if (a[ans[u]] == 1) ans[u] = sz[u] - 1;
return a;
};
pdfs(rt, 0);
dfs(rt, 0);
for (int i = 1; i < n; ++i) ans[i] = sz[i] - 1 - ans[i];
return ans;
}

int main() {
//freopen("in", "r", stdin);
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(nullptr);
int n;
std::cin >> n;
std::vector<std::vector<int>> e(n + 1);
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int u, v;
std::cin >> u >> v;
e[u].emplace_back(v);
e[v].emplace_back(u);
}
auto r = dsuOnTree(e);
for (int i = 1; i <= n; ++i) std::cout << r[i] << "\n";
return 0;
}

树上启发式算法(dsu on tree)

先处理轻儿子,但是不保留影响,再处理重儿子保留,再暴力处理所有其它情况,再看次节点是否需要保留。

复杂度分析真的太妙了!

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// 为了代码简洁,树的编号以 1 开始,参考:https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9683124.html
std::vector<LL> dsuOnTree(std::vector<std::vector<int>> &e, std::vector<int> &a, int rt = 1) {
int n = a.size();
// 预处理出重儿子
std::vector<int> sz(n), son(n), cnt(n);
std::function<int(int, int)> pdfs = [&](int u, int fa) -> int {
sz[u] = 1;
for (auto v : e[u]) if (v != fa) {
sz[u] += pdfs(v, u);
if (sz[v] > sz[son[u]]) son[u] = v;
}
return sz[u];
};
// 这个函数具体问题具体分析
std::vector<LL> ans(n);
int mx = 0, Son = 0;
LL sm = 0;
std::function<void(int, int)> deal = [&](int u, int fa) -> void {
++cnt[a[u]];
if (cnt[a[u]] > mx) {
mx = cnt[a[u]];
sm = a[u];
} else if (cnt[a[u]] == mx) {
sm += a[u];
}
for (auto v : e[u]) if (v != fa && v != Son) {
deal(v, u);
}
};
std::function<void(int, int)> del = [&](int u, int fa) -> void {
--cnt[a[u]];
for (auto v : e[u]) if (v != fa) del(v, u);
};
std::function<void(int, int, bool)> dfs = [&](int u, int fa, bool save) -> void {
for (auto v : e[u]) if (v != fa && v != son[u]) {
dfs(v, u, 0); // 先计算轻边贡献,但最终要消除影响,防止轻边互相干扰
}
if (son[u]) dfs(son[u], u, 1); // 统计重儿子的贡献,但不消除影响
Son = son[u];
deal(u, fa); // 暴力处理除重儿子外的贡献
Son = 0;
ans[u] = sm;
if (!save) {
del(u, fa);
sm = 0;
mx = 0;
}
};
pdfs(rt, rt);
dfs(rt, rt, 1);
return ans;
}

思想是这样的,到时候具体问题灵活运用,不必死套模板,例如 gym 102832F 我的另样做法 submission 105273241 更加优秀,快速。

树上问题

树的直径:先从任意点开始寻找最远距离点(bfs 遍历一下),然后再找一次就是了(易证)

例题:1405D

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std::vector<int> d(n);
auto bfs = [&](int x) -> int {
std::fill(d.begin(), d.end(), -1);
std::queue<int> Q;
d[x] = 0;
Q.push(x);
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front();
Q.pop();
for (auto v : e[u]) if (d[v] == -1) {
d[v] = d[u] + 1;
Q.push(v);
}
}
return std::max_element(d.begin(), d.end()) - d.begin();
};

[树的中心]:所有点到该点的最大值最小(直径的中点)

树的重心:去掉这个点后连通分支的节点数量的最大值最小

根据 DFS 子树的大小和“向上”的子树大小就可以知道所有子树中最大的子树节点数。:例题 1406C

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// 其中 e 表示树的边,n 为数的数量
std::function<int(int)> degree = [&](int u) -> int {
d[u] = 1;
for (auto v : e[u]) if (d[v] == -1) {
d[u] += degree(v);
}
return d[u];
};
auto barycenter = [&](int x) {
std::fill(d.begin(), d.end(), -1);
int cnt = degree(x);
std::vector<int> w(n, n);
std::queue<int> Q;
Q.push(x);
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front();
Q.pop();
w[u] = cnt - d[u];
for (auto v : e[u]) if (w[v] == n) {
w[u] = std::max(w[u], d[v]);
Q.push(v);
}
}
int r = std::min_element(w.begin(), w.end()) - w.begin();
return std::make_pair(r, w[r]);
};

最近公共祖先简称 LCA(Lowest Common Ancestor)

  • 策略 1:其中一个节点一直往上标记父辈到根,然后另一个节点往上找父辈,直到找到首次被标记过的节点
  • 策略 2:标记没个节点的深度,深度高的往上到同一层,然后一起一步步上去,直到是公共节点
  • 策略 3:做一次 DFS 得到 Euler 序列,然后就变成找区间最小值问题了(可以使用线段树)
  • 策略 4:树链剖分(见下面做法,目前我的做法)
  • 其他:倍增(记录 fa[u][i]:表示 u 的第$2^i$祖先),Tarjan 算法,动态树
    OI-wiki 给了很多做法,竟然有标准 $O(N)$ 时空复杂度的 RMQ 做法还支持在线,太强了,太强了,mark 一下,有模板,但是并不想学。

有向无环图的拓扑排序之 Kahn 算法

给定有向图,然后把节点按照顺序排列,使得任意有向边的起点在终点前。

做法:维护一个入度为 0 的节点队列,丢出队列时它连接的所有点入度减 1,为 0 就加入节点集合。

模板例题:LOJ U107394

一个有向图是无环图,当且仅当它存在拓扑排序(有重边就用 set 存边自动去重,否则直接用 vector 即可)。

无向图的 Euler 序列 的 Hierholzer 算法

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// 求字典序最小的 Euler 路,没有的话输出 空(允许重边,不允许就修改成 set)
std::stack<int> EulerPathS(std::vector<std::multiset<int>> e) {
int cnt = std::count_if(e.begin(), e.end(), [](auto x) {
return x.size() % 2 == 1;
});
if (cnt > 2) return std::stack<int>();
std::stack<int> ans;
std::function<void(int)> Hierholzer = [&](int u) {
while (!e[u].empty()) {
int v = *e[u].begin();
e[u].erase(e[u].begin());
e[v].erase(e[v].find(u));
Hierholzer(v);
}
ans.push(u);
};
for (int i = 0; i < e.size(); ++i) {
if (!e[i].empty() && ((e[i].size() & 1) || (cnt == 0))) {
Hierholzer(i);
break;
}
}
return ans;
}
// 求 rt 开头的字典序 Euler 路(保证存在且不允许重边,允许重边就修改成 multiset 即可)
std::stack<int> EulerPath(std::vector<std::set<int>> e, int rt) {
std::stack<int> ans;
std::function<void(int)> Hierholzer = [&](int u) {
while (!e[u].empty()) {
int v = *e[u].begin();
e[u].erase(e[u].begin());
e[v].erase(e[v].find(u));
Hierholzer(v);
}
ans.push(u);
};
Hierholzer(rt);
return ans;
}

笛卡尔树 :我去,竟然是 $O(n)$ 复杂度的建树(弃用没必要直接学单调栈即可)

OI - wiki 中看到的讲解和复杂度分析!,注意到右链是从尾巴往上查找的。
hdu 1506
这就给出了一个 $O(n)$ 复杂度求出包含 i且以 a[i] 为最大值的区间的方法(最小值保存的时候取负数即可),太强了!
求上述对应的最大值区间,需要修改 0 节点的值,以及 build 的大于号改成小于号。

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#include <bits/stdc++.h>
#define watch(x) std::cout << (#x) << " is " << (x) << std::endl
#define print(x) std::cout << (x) << std::endl
using LL = long long;
struct Node {
int id, val, par, ch[2];
void init(int _id, int _val, int _par) {
id = _id, val = _val, par = _par, ch[0] = ch[1] = 0;
}
};
int cartesian_build(std::vector<Node> &tree, int n) {
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int k = i - 1;
while (tree[k].val < tree[i].val) k = tree[k].par;
tree[i].ch[0] = tree[k].ch[1];
tree[k].ch[1] = i;
tree[i].par = k;
tree[tree[i].ch[0]].par = i;
}
return tree[0].ch[1];
}
int main() {
// freopen("in","r",stdin);
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(nullptr);
int n;
while (std::cin >> n && n) {
std::vector<Node> tree(n + 1);
tree[0].init(0, INT_MAX, 0);
for (int i = 1, x; i <= n; ++i) {
std::cin >> x;
tree[i].init(i, x, 0);
}
int root = cartesian_build(tree, n);
LL ans = 0;
std::function<int(int)> dfs = [&](int x) -> int {
if (x == 0) return 0;
int sz = dfs(tree[x].ch[0]);
sz += dfs(tree[x].ch[1]);
ans = std::max(ans, LL(sz + 1) * tree[x].val);
return sz + 1;
};
dfs(root);
std::cout << ans << std::endl;

// 下面是求以 a[i] 为最大值且包含 i 的最大区间
std::vector<int> l(n + 1), r(n + 1);
std::function<void(int)> getinterval = [&](int x) {
if (x == 0) return;
if (tree[tree[x].par].ch[0] == x) {
r[x] = tree[x].par - 1;
l[x] = l[tree[x].par];
} else {
l[x] = tree[x].par + 1;
r[x] = r[tree[x].par];
}
getinterval(tree[x].ch[0]);
getinterval(tree[x].ch[1]);
};
l[root] = 1;
r[root] = n;
getinterval(tree[root].ch[0]);
getinterval(tree[root].ch[1]);
// 要考虑有相同值的情形,必须要分两次搞,不然有bug
std::function<void(int)> updateinterval = [&](int x) {
if (x == 0) return;
if (tree[tree[x].par].ch[0] == x) {
if (tree[x].val == tree[tree[x].par].val) r[x] = r[tree[x].par];
} else {
if (tree[x].val == tree[tree[x].par].val) l[x] = l[tree[x].par];
}
updateinterval(tree[x].ch[0]);
updateinterval(tree[x].ch[1]);
};
updateinterval(tree[root].ch[0]);
updateinterval(tree[root].ch[1]);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
std::cout << l[i] << " " << r[i] << std::endl;
}
}
return 0;
}

洛谷 T126268 「SWTR-05」Subsequence 有一个典型的应用

最小生成树 prim 算法

任取一个节点,然后开始找相邻边中边最小的节点加入,然后继续。百度百科里的图解一看就懂,怎么明确证明正确性呢?(在保证连通的前提下每次删除图中最大的边,不会影响最终结果,而我们每步得到的是当前节点构成的子图的最小生成树)当然了堆优化常规操作,另外不连通输出 INT64_MAX, 例题:LOJ3366

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using edge = std::vector<std::vector<std::pair<int, int>>>;
LL Prim(const edge &e) {
LL r = 0;
int n = e.size(), cnt = 0;
std::priority_queue<std::pair<int, int>> Q;
std::vector<int> vis(n);
Q.push({0, 0});
while (!Q.empty()) {
auto [w, u] = Q.top();
Q.pop();
if (vis[u]) continue;
++cnt;
r -= w;
vis[u] = 1;
for (auto [v, c] : e[u]) if (!vis[v]) {
Q.push({-c, v});
}
}
return cnt == n ? r : INT64_MAX;
}

最小树形图的 $O(nm)$ 刘朱算法

  1. 对每个点,找入边权值最小的边构成集合。
  2. 如果这些边构成有向环,缩点后进入 1,否则结束,找到了。

例题:LOJ4716

问题变形:如果不指定根节点,那么可以建一个根节点,然后它和所有其它点连特别大的边即可。

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using Edge = std::tuple<int, int, int>;
LL LiuZhu(std::vector<Edge> e, int n, int rt) { // e 中无自环
LL ans = 0;
while (1) {
// 寻找入边权值最小的边
std::vector<int> in(n, INT_MAX), pre(n, -1);
for (auto [u, v, w] : e) if (u != v && in[v] > w) {
in[v] = w;
pre[v] = u;
}
// 判定是否无解
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (i != rt && pre[i] == -1) return -1;
}
// 判定是否有环
int cnt = 0;
std::vector<int> vis(n, -1), id(n, -1);
for (int i = 0; i < n; ++i) if (i != rt) {
ans += in[i];
int v = i;
// 注意到可能出现 6 型的路径,所以两个指标很必要
while (vis[v] != i && id[v] == -1 && v != rt) {
vis[v] = i;
v = pre[v];
}
if (id[v] == -1 && v != rt) {
int u = v;
do {
id[u] = cnt;
u = pre[u];
} while (u != v);
++cnt;
}
}
if (cnt == 0) break;
// 更新节点和边,也可以重开一个 vector,然后 swap 一下
for (int i = 0; i < n; ++i) if (id[i] == -1) id[i] = cnt++;
for (auto &[u, v, w] : e) {
if (id[u] != id[v]) w -= in[v];
u = id[u];
v = id[v];
}
rt = id[rt];
n = cnt;
}
return ans;
}

最短路

知乎上看到 YYYYLLL 关于 Floyd 算法的解释挺好的,再次记录(稍加修改)

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DP[k][i][j] 表示只经过 1~k 号节点优化,i 点到 j 点的最短路径长度。
则 DP[k][i][j] = min( DP[k-1][i][j], DP[k-1][i][k]+DP[k-1][k][j] )
= min( DP[k-1][i][j], DP[k][i][k]+DP[k][k][j] )
DP[0][][] 是初始图的邻接矩阵,DP[n][][] 就是最终求得的最短路长度矩阵了

本来一开始是没法做空间优化的, 但是第二个等式, 就保证了可以做空间优化

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const int N = 1003;
LL dp[N][N];
void Floyd(int n) {
auto cmin = [](auto &x, auto y) {
if (x > y) x = y;
};
for(int k = 0; k != n; ++k)
for(int i = 0; i != n; ++i)
for(int j = 0; j != n; ++j)
cmin(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
}

Floyd 带路径 —- 未测试

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const int N = 1003;
LL dp[N][N], path[N][N];
void Floyd(int n) {
memset(path, -1, sizeof(path));
for(int k = 0; k != n; ++k)
for(int i = 0; i != n; ++i)
for(int j = 0; j != n; ++j) if (dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k][j]) {
path[i][j] = k;
}
}
std::vector<int> getPath(int x, int y) {
if (path[x][y] == -1) {
if (x == y) return std::vector<int>{x};
return std::vector<int>{x, y};
}
auto left = getPath(x, path[x][y]);
auto now = getPath(path[x][y], y);
left.insert(left.end(), now.begin(), now.end());
return left;
}

Floyd 算法其它用途:

  • 找最小环(至少三个节点)考虑环上最大节点 $u$,$f[u - 1][x][y]$ 和 $(y, u), (u, x)$ 构成最小环(值小于 INF 才是真的有环)
  • 传递闭包:跟最短路完全类似,只是这里加法改成 或运算,可用 bitset 优化成 $O(\frac{n^3}{w})$,其中 $w = 32, 64$。

    堆优化 Dijkstra

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using edge = std::vector<std::vector<std::pair<int, int>>>;
std::vector<LL> Dijkstra(int s, const edge &e) {
std::priority_queue<std::pair<LL, int>> Q;
std::vector<LL> d(e.size(), INT64_MAX);
d[s] = 0;
Q.push({0, s});
while (!Q.empty()) {
auto [du, u] = Q.top();
Q.pop();
if (d[u] != -du) continue;
for (auto [v, w] : e[u]) if (d[v] > d[u] + w) {
d[v] = d[u] + w;
Q.emplace(-d[v], v);
}
}
return d;
}

堆优化 Dijkstra (弃用)

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using edge = std::vector<std::vector<std::pair<int, int>>>;
std::vector<LL> Dijkstra(int s, const edge &e) {
std::priority_queue<std::pair<LL, int>> h;
std::vector<LL> dist(e.size(), INT64_MAX);
std::vector<int> vis(e.size());
dist[s] = 0;
h.push({0, s});
while (!h.empty()) {
auto [d, u] = h.top();
h.pop();
if (vis[u]) continue;
vis[u] = 1;
dist[u] = -d;
for (auto [v, w] : e[u]) h.emplace(d - w, v);
}
return dist;
}

Bellman-Ford

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using edge = std::vector<std::tuple<int, int, int>>;
bool BellmanFord(edge &e, int n, int x = 0) {
std::vector<int> dist(n + 1, INT_MAX);
dist[x] = 0;
for (int i = 0; i <= n; ++i) {
bool judge = false;
for (auto [u, v, w] : e) if (dist[u] != INT_MAX) {
if (dist[v] > dist[u] + w) {
dist[v] = dist[u] + w;
judge = true;
}
}
if (!judge) return true;
}
return false;
}

spfa

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using edge = std::vector<std::vector<std::pair<int, int>>>;
bool spfa(edge &e, int x = 0) {
int n = e.size();
std::queue<int> Q;
std::vector<int> dist(n, INT_MAX), cnt(n), inQ(n);
Q.push(x);
inQ[x] = 1;
dist[x] = 0;
++cnt[x];
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front();
Q.pop();
inQ[u] = 0;
for (auto [v, w]: e[u]) {
if (dist[v] > dist[u] + w) {
dist[v] = dist[u] + w;
if (!inQ[v]) {
Q.push(v);
inQ[v] = 1;
if (++cnt[v] == n) return false;
}
}
}
}
return true;
}

无向图染色问题

2-color

仅用两种颜色给无向图染色,使得相邻节点不同色,每个连通块考虑即可,每个连通块要么是 2,要么是 0(判断依据有无奇圈)

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const LL M = 998244353;
// 图以 0 开始编号
LL color2(std::vector<std::vector<int>>& e) {
int n = e.size();
std::vector<int> val(n);
auto bfs = [&](int x) {
std::queue<int> Q;
Q.push(x);
val[x] = 1;
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front();
Q.pop();
for (auto v : e[u]) {
if (val[v]) {
if (val[v] != -val[u]) return 0;
} else {
val[v] = -val[u];
Q.push(v);
}
}
}
return 2;
};
LL r = 1;
for (int i = 0; i < n; ++i) if (val[i] == 0) {
r = r * bfs(i) % M;
if (r == 0) return 0;
}
return r;
}

The Chromatic Polynomial

对于一般的 $n$-color 问题对应的 The Chromatic Polynomial 可在书 Combinatorics and Graph Theory 中找到。思想就是破圈和缩点的做法。

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#include <bits/stdc++.h>
#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>
using BINT = boost::multiprecision::cpp_int;

// chromaticPoly of a tree with n node
std::vector<BINT> chromaticPoly(int n) {
std::vector<BINT> r(n + 1);
BINT now{n % 2 == 1 ? 1 : -1};
for (int i = 0; i < n; ++i) {
r[i + 1] = now;
now = -now * (n - 1 - i) / (i + 1);
}
return r;
}
std::vector<BINT> colorConnect(std::vector<std::set<int>> e) {
int n = e.size();
std::vector<bool> v1(n), v2(n);
auto r = chromaticPoly(n); // 可以先预处理出来
auto subtract = [](std::vector<BINT> &a, std::vector<BINT> b) {
for (int i = 0; i != b.size(); ++i) a[i] -= b[i];
};
std::queue<int> Q;
Q.push(0);
v1[0] = 1;
auto enow = e;
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front();
v2[u] = 1;
Q.pop();
for (auto v : e[u]) if (!v2[v]) {
if (v1[v]) {
std::vector<std::set<int>> ed;
std::vector<int> p(n);
for (int i = 0, now = 0; i < n; ++i) {
if (i != u && i != v) {
p[i] = now++;
} else p[i] = n - 2;
}
for (int i = 0; i < n; ++i) if (i != u && i != v) {
std::set<int> tmp;
for (auto x : enow[i]) tmp.insert(p[x]);
ed.emplace_back(tmp);
}
enow[u].erase(v);
enow[v].erase(u);
std::set<int> tmp;
for (auto x : enow[u]) tmp.insert(p[x]);
for (auto x : enow[v]) tmp.insert(p[x]);
ed.emplace_back(tmp);
subtract(r, colorConnect(ed));
} else {
Q.push(v);
v1[v] = 1;
}
}
e = enow;
}
return r;
}
std::vector<BINT> color(std::vector<std::set<int>> &e) {
int n = e.size();
std::vector<bool> vis(n);
auto connect = [&](int x) {
std::vector<bool> visc(n);
std::queue<int> Q;
Q.push(x);
visc[x] = 1;
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front();
Q.pop();
for (auto v : e[u]) if (!visc[v]) {
visc[v] = 1;
Q.push(v);
}
}
std::vector<int> p(n);
for (int i = 0, now = 0; i < n; ++i) if (visc[i]) {
p[i] = now++;
}
std::vector<std::set<int>> ec;
for (int i = 0; i < n; ++i) if (visc[i]) {
std::set<int> tmp;
for (auto x : e[i]) tmp.insert(p[x]);
ec.emplace_back(tmp);
vis[i] = 1;
}
return ec;
};
auto mul = [](std::vector<BINT> &a, std::vector<BINT> b) {
std::vector<BINT> c(a.size() + b.size() - 1);
for (int i = 0; i != a.size(); ++i) {
for (int j = 0; j != b.size(); ++j) {
c[i + j] += a[i] * b[j];
}
}
return c;
};
std::vector<BINT> r(1, 1);
for (int i = 0; i < n; ++i) if (!vis[i]) {
r = mul(r, colorConnect(connect(i)));
}
return r;
}

int main() {
// freopen("in","r",stdin);
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(nullptr);
int cas = 1;
std::cin >> cas;
while (cas--) {
int n, m;
std::cin >> n >> m;
std::vector<std::set<int>> e(n);
while (m--) {
int u, v;
std::cin >> u >> v;
--u; --v;
e[u].insert(v);
e[v].insert(u);
}
for (auto x : color(e)) std::cout << x << " ";
std::cout << std::endl;
}
return 0;
}

连通性问题

Kosaraju 缩点算法

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struct Scc {
int n, nScc;
std::vector<int> vis, color, order;
std::vector<std::vector<int>> e, e2;
Scc(int _n) : n(_n * 2) {
nScc = 0;
e.resize(n);
e2.resize(n);
vis.resize(n);
color.resize(n);
}
void addEdge(int u, int v) {
e[u].emplace_back(v);
e2[v].emplace_back(u);
}
void dfs(int u) {
vis[u] = true;
for (auto v : e[u]) if (!vis[v]) dfs(v);
order.emplace_back(u);
}
void dfs2(int u) {
color[u] = nScc;
for (auto v : e2[u]) if (!color[v]) dfs2(v);
}
void Kosaraju() {
for (int i = 0; i < n; ++i) if (!vis[i]) dfs(i);
for (auto it = order.rbegin(); it != order.rend(); ++it) if (!color[*it]) {
++nScc;
dfs2(*it);
}
}
};

2-SAT

Kosaraju 算法通过两次 dfs,给强连通分量进行染色,染色数就是强联通分量数,最后缩点后得到的就是一个有向无环图(DAG),如果有相邻(仅取一个)节点在同一个强连通分量中,那么显然不存在解,否则我们取颜色编号大的连通分量(一定有解!)。

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// n / 2 对 (2i, 2i + 1),每对选出一个元素,使得无矛盾
struct twoSAT {
int n, nScc;
std::vector<int> vis, color, order;
std::vector<std::vector<int>> e, e2;
twoSAT(int _n) : n(_n * 2) {
nScc = 0;
e.resize(n);
e2.resize(n);
vis.resize(n);
color.resize(n);
}
void addEdge(int u, int v) {
e[u].emplace_back(v);
e2[v].emplace_back(u);
}
void dfs(int u) {
vis[u] = true;
for (auto v : e[u]) if (!vis[v]) dfs(v);
order.emplace_back(u);
}
void dfs2(int u) {
color[u] = nScc;
for (auto v : e2[u]) if (!color[v]) dfs2(v);
}
void Kosaraju() {
for (int i = 0; i < n; ++i) if (!vis[i]) dfs(i);
for (auto it = order.rbegin(); it != order.rend(); ++it) if (!color[*it]) {
++nScc;
dfs2(*it);
}
}
std::vector<int> solve() {
Kosaraju();
// 选择颜色编号大的强连通分量
std::vector<int> choose(nScc + 1);
for (int i = 0; i < n; i += 2) {
int c1 = color[i], c2 = color[i + 1];
if (c1 == c2) return std::vector<int>();
if (choose[c1] || choose[c2]) continue;
choose[std::max(c1, c2)] = 1;
}
std::vector<int> r(n / 2);
for (int i = 0; i * 2 < n; ++i) r[i] = (choose[color[i * 2]] ? 1 : -1);
return r;
}
};

此内容包含 强连通分量,采用其中的 Kosaraju 算法缩点。参考 OI-wiki百度文库例题 1答案例题 2: K-TV Show Game答案,有些特殊的 2-SAT 可以用奇偶性解决,例如: 1438C

OI-wiki 割点割边讲解

割点(无向图中删除该点使得连通分量数量增多的节点)

首先 dfs 序给出每个节点的编号记作 dfs[i],再来一个数组 low,表示不经过父节点能够到达的编号最小的点。显然如果至少有一个儿子满足的 low 值不超过它的 dfs 值,那么此节点就是割点(但是根节点除外,根节点始终满足,如果根节点有大于一个真儿子,那么必然是割点)。不难看出这是割点的冲要条件,因此问题就转化成求 dfs 和 low 了。

模板例题:LOJ3388

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std::vector<int> cutVertex(std::vector<std::vector<int>>& e) {
int n = e.size(), cnt = 0;
std::vector<int> dfs(n), low(n), flag(n), r;
std::function<void(int, int)> Tarjan = [&](int u, int fa) -> void {
low[u] = dfs[u] = ++cnt;
int ch = 0;
for (auto v : e[u]) {
if (dfs[v] == 0) {
++ch;
Tarjan(v, u);
low[u] = std::min(low[u], low[v]);
if (u != fa && low[v] >= dfs[u]) flag[u] = 1;
} else if (v != fa) {
low[u] = std::min(low[u], dfs[v]);
}
}
if (u == fa && ch > 1) flag[u] = 1;
};
for (int i = 0; i < n; ++i) if (dfs[i] == 0) Tarjan(i, i);
for (int i = 0; i < n; ++i) if (flag[i]) r.emplace_back(i);
return r;
}

割边(无向图中删除该边使得连通分量数量增多的边)

与割点处理同理,只是不用特判根节点。注意到做一次 dfs 后,—不在 dfs 路径上的边不可能为割边!但是为了处理重边的情况,没办法只能用 vector 版链式前向星存边了。

模板例题:LOJ T103481

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class CutEdge {
int n, cnt;
std::vector<std::vector<int>> g;
std::vector<int> e, flag, dfs, low;
void Tarjan(int u, int inEdgeNum) {
low[u] = dfs[u] = ++cnt;
for (auto i : g[u]) {
int v = e[i];
if (dfs[v] == 0) {
Tarjan(v, i);
low[u] = std::min(low[u], low[v]);
if (low[v] > dfs[u]) flag[i] = flag[i ^ 1] = 1;
} else if ((i ^ 1) != inEdgeNum) {
low[u] = std::min(low[u], dfs[v]);
}
}
}
public:
CutEdge(int _n) : n(_n), g(_n), dfs(n), low(n), cnt(0) {}
void addEdge(int u, int v) {
if (u == v) return;
g[u].emplace_back(e.size());
e.emplace_back(v);
flag.emplace_back(0);
g[v].emplace_back(e.size());
e.emplace_back(u);
flag.emplace_back(0);
}
int solve() {
for (int i = 0; i < n; ++i) if (dfs[i] == 0) Tarjan(i, -1);
int r = 0;
for (auto x : flag) r += x;
return r / 2;
}
};

图的匹配算法

OI-wiki 上有专题专门讲这个的,分最大匹配和最大权匹配,对于特殊的图(例如二分图)有特殊的算法,例如可以增加源点和汇点转化成网络流问题,用下面 Dinic 算法在 $O(\sqrt{n} m)$ 解决。

其中一般图的最大匹配可以参考 Min_25 的模板

网络流

有向图 S-T 最大流 Dinic 算法 $O(n^2 m)$(对偶问题:S-T 最大流等于 S-T 最小割)

参考资料:OI-wiki最大流算法-ISAP需要反向边的原因的例子说明,下面代码借鉴于 jiangly。注意代码本质上是支持动态更新的

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class Dinic {
int n;
// e[i] 表示第 i 条边的终点和容量,注意存边的时候 e[i ^ 1] 是 e[i] 的反向边。
// g[u] 存的是所有以 u 为起点的边,这就很像链式前向星的做法
std::vector<std::pair<int, int>> e;
std::vector<std::vector<int>> g;
std::vector<int> cur, h;
// h[i] 表示 bfs 从 s 到 i 的距离,如果找到了 t,那么就说明找到了增广路。
bool bfs(int s, int t) {
h.assign(n, -1);
std::queue<int> Q;
h[s] = 0;
Q.push(s);
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front();
Q.pop();
for (auto i : g[u]) {
auto [v, c] = e[i];
if (c > 0 && h[v] == -1) {
h[v] = h[u] + 1;
Q.push(v);
}
}
}
return h[t] != -1;
}
// f 表示从 u 点出发拥有的最大流量,输出的是 u 到 t 的最大流量
LL dfs(int u, int t, LL f) {
if (u == t || f == 0) return f;
LL r = f;
for (int &i = cur[u]; i < g[u].size(); ++i) {
int j = g[u][i];
auto [v, c] = e[j];
if (c > 0 && h[v] == h[u] + 1) {
int a = dfs(v, t, std::min(r, LL(c)));
e[j].second -= a;
e[j ^ 1].second += a;
r -= a;
if (r == 0) return f;
}
}
return f - r;
}
public:
Dinic(int _n) : n(_n), g(n) {}
void addEdge(int u, int v, int c) {
if (u == v) return;
g[u].emplace_back(e.size());
e.emplace_back(v, c);
g[v].emplace_back(e.size());
e.emplace_back(u, 0);
}
LL maxFlow(int s, int t) {
LL r = 0;
while (bfs(s, t)) {
cur.assign(n, 0);
r += dfs(s, t, INT64_MAX);
}
return r;
}
};

使用 unordered_map 直接存边的 Dinic 算法(注意结果是否超 int)

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class Dinic {
int n;
std::vector<std::unordered_map<int, int>> g;
std::vector<std::unordered_map<int, int>::iterator> cur;
std::vector<int> h;
// h[i] 表示 bfs 从 s 到 i 的距离,如果找到了 t,那么就说明找到了增广路。
bool bfs(int s, int t) {
h.assign(n, -1);
std::queue<int> Q;
h[s] = 0;
Q.push(s);
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front();
Q.pop();
for (auto [v, c] : g[u]) {
if (c > 0 && h[v] == -1) {
h[v] = h[u] + 1;
Q.push(v);
}
}
}
return h[t] != -1;
}
// f 表示从 u 点出发拥有的最大流量,输出的是 u 到 t 的最大流量
int dfs(int u, int t, int f) {
if (u == t || f == 0) return f;
int r = f;
for (auto &it = cur[u]; it != g[u].end(); ++it) {
int v = it->first;
if (it->second > 0 && h[v] == h[u] + 1) {
int a = dfs(v, t, std::min(r, it->second));
it->second -= a;
g[v][u] += a;
r -= a;
if (r == 0) return f;
}
}
return f - r;
}
public:
Dinic(int _n) : n(_n), g(n), cur(n) {}
void addEdge(int u, int v, int c) {
// 注意这里一定要这样!
if (u == v) return;
g[u][v] += c;
g[v][u] += 0;
}
int maxFlow(int s, int t) {
int r = 0;
while (bfs(s, t)) {
for (int i = 0; i < n; ++i) cur[i] = g[i].begin();
r += dfs(s, t, INT_MAX);
}
return r;
}
};

有向图 S-T 最大流 ISAP 算法 (弃用)

核心就是一句话,Dinic 算法中,每一轮需要进行一次 BFS,可以被优化,并且还有许多细节上的优化。

折腾了半天发现并没有比 Dinic 快,本质原因是计算 dfs 完之后更新 d,按照上面的做法会极大的增加 aug(s, INT_MAX) 次数。但是确实比 直接更新 d 更快(可能时因为直接更新高度代码会写的很绕,因为可能变换的高度不止自己一个,父节点的高度也可能要更新),而在下面 HLPP 中用这这技巧又会特别慢,可惜~

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// 结合 https://www.cnblogs.com/owenyu/p/6852664.html 在实现上进行了相应的修改
class ISAP {
int n, s, t;
// e[i] 表示第 i 条边的终点和容量,注意存边的时候 e[i ^ 1] 是 e[i] 的反向边。
// g[u] 存的是所有以 u 为起点的边,这就很像链式前向星的做法
std::vector<std::pair<int, int>> e;
std::vector<std::vector<int>> g;
// cur[u] 表示以 u 为起点当前没被增广过的边
std::vector<int> cur, d, gap;
// d[u] 表示残余网络中 从 u 到 t 的最短距离,注意到可以把 d[u] 理解成连续变化的(否则很难正确的更新 d)。
// gap[x] 表示 d[u] = x 的节点个数, 用于优化
void init(int _s, int _t) {
s = _s;
t = _t;
d.assign(n, n);
std::queue<int> Q;
d[t] = 0;
Q.push(t);
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front();
Q.pop();
for (auto i : g[u]) {
int v = e[i].first, c = e[i ^ 1].second;
if (c > 0 && d[v] == n) {
d[v] = d[u] + 1;
Q.push(v);
}
}
}
gap.assign(n + 2, 0);
for (auto x : d) ++gap[x];
cur.assign(n, 0);
}
// 从 u 开始到汇点 t 不超过 f 的最大流,如果取到了 f 说明后面还有增广的可能
LL aug(int u, LL f) {
if (u == t) return f;
LL r = f;
for (int &i = cur[u]; i < int(g[u].size()); ++i) {
int j = g[u][i];
auto [v, c] = e[j];
if (c > 0 && d[u] == d[v] + 1) {
int a = aug(v, std::min(r, LL(c)));
e[j].second -= a;
e[j ^ 1].second += a;
r -= a;
if (r == 0) return f;
}
}
cur[u] = 0;
if (--gap[d[u]] == 0) d[s] = n;
++gap[++d[u]];
return f - r;
}
public:
ISAP(int _n) : n(_n), g(_n) {}
void addEdge(int u, int v, int c) {
if (u == v) return;
g[u].emplace_back(e.size());
e.emplace_back(v, c);
g[v].emplace_back(e.size());
e.emplace_back(u, 0);
}
LL maxFlow(int _s, int _t) {
init(_s, _t);
LL r = 0;
while (d[s] < n) r += aug(s, INT64_MAX);
return r;
}
};

有向图 S-T 最大流的最高标号预流推进算法(HLPP) $O(n^2 \sqrt{m})$ 算法

1988 年 Tarjan, Goldberg 提出次方法,1989 年 Joseph Cheriyan, Kurt Mehlhorn 证明了该方法时间复杂度为 $O(n^2 \sqrt{m})$,直接看 OI-wiki 最后一张图(下载下来放大)还是很好理解的,Push-Relabel 那段没讲清楚,跳过的看就行,再结合 cnblog) 理解一下优化(不要看代码)就掌握了。然后自己写代码即可。

个人理解其实此算法 ISAP 的优化,Dinic 和 ISAP 都要递归找可行流,但是此算法,先给了再说,多了的再取出来即可,这样不用递归了。

模板例题:LibreOJ-127,跑的太慢,有待提升。

注意到每次推流的时候,当前节点时有水的(且高度小于 n 的,高度为 n 说明水是积水)里面高度最高的,因此更新高度的时候就不会出现问题!

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class HLPP {
int n;
// e[i] 表示第 i 条边的终点和容量,注意存边的时候 e[i ^ 1] 是 e[i] 的反向边。
// g[u] 存的是所有以 u 为起点的边,这就很像链式前向星的做法
std::vector<std::pair<int, int>> e;
std::vector<std::vector<int>> g;
std::vector<int> h;
std::vector<LL> ex;
void addFlow(int i, int a) {
ex[e[i ^ 1].first] -= a;
ex[e[i].first] += a;
e[i].second -= a;
e[i ^ 1].second += a;
};
// 首先初始化 u 到 t 的距离得到 d[u]
bool init(int s, int t) {
std::queue<int> Q;
Q.push(t);
h[t] = 0;
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front();
Q.pop();
for (auto i : g[u]) {
int v = e[i].first;
if (e[i ^ 1].second > 0 && h[v] == n) {
h[v] = h[u] + 1;
Q.push(v);
}
}
}
return h[t] == n;
}
public:
HLPP(int _n) : n(_n), ex(n), h(n, n), g(n) {}
void addEdge(int u, int v, int c) {
if (u == v) return;
g[u].emplace_back(e.size());
e.emplace_back(v, c);
g[v].emplace_back(e.size());
e.emplace_back(u, 0);
}
LL maxFlow(int s, int t) {
if (init(s, t)) return 0;
std::vector<int> gap(n + 1, 0), vis(n);
for (auto x : h) ++gap[x];
std::priority_queue<std::pair<int, int>> pq;
// push 之后 ex[u] 还大于 0 就说明当前超载了,需要提升高度
auto push = [&](int u) -> bool {
if (ex[u] == 0 || h[u] == n) return false;
for (auto i : g[u]) {
auto [v, c] = e[i];
// 注意 push(s) 的时候不用管高度的问题
if (c == 0 || (h[u] != h[v] + 1 && u != s)) continue;
int a = std::min(ex[u], LL(c));
addFlow(i, a);
if (!vis[v]) {
pq.push({h[v], v});
vis[v] = 1;
}
if (ex[u] == 0) return false;
}
return true;
};
ex[s] = INT64_MAX;
push(s);
h[s] = n;
vis[s] = vis[t] = 1; // 起点和终点不会丢进队列中
while (!pq.empty()) {
int u = pq.top().second;
pq.pop();
vis[u] = 0;
while (push(u)) {
if (--gap[h[u]] == 0) {
for (int i = 0; i < n; ++i) if (h[i] > h[u]) h[i] = n;
}
h[u] = n - 1;
for (auto i : g[u]) {
auto [v, c] = e[i];
if (c > 0 && h[u] > h[v]) h[u] = h[v];
}
++gap[++h[u]];
}
}
return ex[t];
}
};

无向图全局最小割 Stoer-Wagner 算法

无向图的 S-T 最小割可以通过 S-T 最大流来做(在 addEdge(u, v, c) 中两个边的权值都是 c 即可!)。
对任意给定的 S 和 T,全局最小割必然是 S-T 最小割或者 S-T 结合成一个节点后得到新图的最小割。Stoer-Wagner 的论文给了一种简单的方式给出某两个点的 S-T 最小割的办法,那么这个最小割的答案存下来,之后再合并这两个点再继续搞即可。而这个方式叫做 cut-of-the-phase,具体说就是,任取一个点,然后每次往这个点中丢 most tightly connected 点,论文中证明了这种方式得到的图,每一步都是最后两个节点的当前图最小割,所以所有点丢进来之后,最后两个节点的割就是原图的这个两个点的最小割。(直接图原论文很好理解,而且有例子说明)

例题:LOJ5632

无向图全局最小割 Stoer-Wagner 算法,邻接矩阵 $O(n^3)$ 实现

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// 做完 minCut 之后原图就毁了
class StoerWagner {
int n;
std::vector<std::vector<int>> g;
std::vector<int> del;
void merge(int s, int t) {
del[s] = 1;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
g[i][t] = (g[t][i] += g[s][i]);
}
}
public:
StoerWagner(int _n) : n(_n), del(n), g(n, std::vector<int>(n)) {}
void addEdge(int u, int v, int c) {
if (u == v) return;
g[u][v] += c;
g[v][u] += c;
}
int minCut() {
auto f = [&](int cnt, int &s, int &t) -> int {
std::vector<int> vis(n), d(n);
auto push = [&](int x){
vis[x] = 1;
d[x] = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) if (!del[i] && !vis[i]) d[i] += g[x][i];
};
for (int i = 0; i < cnt; ++i) {
push(t);
s = t;
t = std::max_element(d.begin(), d.end()) - d.begin();
}
return d[t];
};
int s = 0, t = 0, r = INT_MAX;
for (int i = n - 1; i > 0; --i) {
r = std::min(r, f(i, s, t));
merge(s, t);
}
return r == INT_MAX ? 0 : r;
}
};

无向图全局最小割 Stoer-Wagner 算法,邻接 unorded_map + 优先队列 $O(nm + n^2 log n)$ 实现(仅稀疏图跑的快, 稠密图还不如 $O(n^3)$ 的算法)

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// 做完 minCut 之后原图就毁了
class StoerWagner {
int n;
std::vector<int> d, del;
std::unordered_map<int, std::unordered_map<int, int>> g;
void merge(int &s, int &t) {
if (g[s].size() > g[t].size()) std::swap(s, t);
for (auto [x, c] : g[s]) {
g[x][t] = (g[t][x] += c);
g[x].erase(s);
}
g.erase(s);
g[t].erase(t);
}
public:
StoerWagner(int _n) : n(_n), d(n), del(n) {}
void addEdge(int u, int v, int c) {
if (u == v) return;
g[u][v] += c;
g[v][u] += c;
}
int minCut() {
auto f = [&](int &s, int &t) -> int {
std::priority_queue<std::pair<int, int>> Q;
std::fill(d.begin(), d.end(), 0);
std::fill(del.begin(), del.end(), 0);
auto push = [&](int x){
for (auto [i, c] : g[x]) if (!del[i]) {
Q.push({d[i] += c, i});
}
del[x] = 1;
};
for (int i = 0; i < n; ++i) {
push(t);
s = t;
while (!Q.empty()) {
t = Q.top().second;
if (!del[t]) break;
Q.pop();
}
}
return d[t];
};
int s = 0, t = 0, r = INT_MAX;
while(--n) {
r = std::min(r, f(s, t));
merge(s, t);
}
return r == INT_MAX ? 0 : r;
}
};

无向图全局最小割 Stoer-Wagner 算法,邻接表 + 优先队列 $O(nm + n^2 log n)$ 实现(仅稀疏图跑的快, 稠密图还不如 $O(n^3)$ 的算法还是 TLE 属实可惜)

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using Edge = std::tuple<int, int, int>;
LL StoerWagner(std::vector<Edge> e, int n) {
auto f = [&]() -> std::tuple<int, int, int> {
std::priority_queue<std::pair<int, int>> Q;
std::vector<std::vector<std::pair<int, int>>> in(n);
for (auto [u, v, w] : e) if (u != v) in[v].emplace_back(u, w);
std::vector<int> del(n), d(n);
auto push = [&](int x){
for (auto [i, c] : in[x]) if (!del[i]) {
Q.push({d[i] += c, i});
}
del[x] = 1;
};
int s, t = 0;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
push(t);
s = t;
while (1) {
if (Q.empty()) {
for (int i = 0; i < n; ++i) if (!del[i]) Q.push({d[i], i});
}
t = Q.top().second;
Q.pop();
if (!del[t]) break;
}
}
return {d[t], s, t};
};
int s = 0, t = 0, r = INT_MAX;
while(n > 1 && r > 0) {
auto [dt, s, t] = f();
r = std::min(r, dt);
std::vector<int> id(n);
int cnt = -1;
for (int i = 0; i < n; ++i) if (i != s && i != t) id[i] = ++cnt;
id[s] = id[t] = ++cnt;
for (auto &[u, v, w] : e) {
u = id[u];
v = id[v];
}
--n;
}
return r == INT_MAX ? 0 : r;
}

最小费用最大流

在最大流的前提下,追求费用最小。一般通用的做法:每次找一条费用最小的可行流。
反向边的费用是原边的相反数,这样就会出现负边,但是因此初始反向边容量为 0,所以初始情况可以理解为图中没有负边。从源点到汇点的费用必然是非负的(因为我们每次走最小费用,所以每次的费用都是非降的,而初始没有负边。)当然这并不代表途中没有经过负边。至于为什么可以用 Dijkstra,很多博客都有介绍。下面代码中 h 为真实的距离,注意到 h[s]始终为 0,对于同一个点,每次的真实距离不减,它将作为下一次求最短路的势。这种思想也称为 Johnson 最短路径算法算法。可以 $O(n m \log m)$ 解决全源最短路问题。

我们这样再看一次:每次我们找一条最短路径,取流了之后,相当于给这条路径加了反向边,其它的都没有变化,如果我们把当前距离当作势,那么加的这些反向边,其实都可以看作加入了长度为 0 的边。那么我们一直这样搞,就相当于一直没有加入负边!搞定。

由于一般费用最小的路径只有一条,所以我们不妨在求最小费用的时候把前缀边找到,这样就可以直接求路径的最大流了。

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class Flow {
inline static const int INF = 1e9;
int n;
// e[i] 表示第 i 条边的终点和容量,注意存边的时候 e[i ^ 1] 是 e[i] 的反向边。
// g[u] 存的是所有以 u 为起点的边,这就很像链式前向星的做法
std::vector<std::tuple<int, int, int>> e;
std::vector<std::vector<int>> g;
std::vector<int> h, path;
// h[i] 表示 从 s 到 i 的距离,如果找到了 t,那么就说明找到了增广路,作为下一次求距离的势。
// path[v] 表示从 s 到 v 的最短路中,path[v] 的终点指向 v
bool Dijkstra(int s, int t) {
std::priority_queue<std::pair<int, int>> Q;
std::fill(path.begin(), path.end(), -1);
std::vector<int> d(n, INF);
d[s] = 0;
Q.push({0, s});
while (!Q.empty()) {
auto [du, u] = Q.top();
Q.pop();
if (d[u] != -du) continue;
for (auto i : g[u]) {
auto [v, c, w] = e[i];
w += h[u] - h[v];
if (c > 0 && d[v] > d[u] + w) {
d[v] = d[u] + w;
path[v] = i;
Q.push({-d[v], v});
}
}
}
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if ((h[i] += d[i]) > INF) h[i] = INF;
}
return h[t] != INF;
}
public:
Flow(int _n) : n(_n), h(n), path(n), g(n) {}
void addEdge(int u, int v, int c, int w) {
if (u == v) return;
g[u].emplace_back(e.size());
e.emplace_back(v, c, w);
g[v].emplace_back(e.size());
e.emplace_back(u, 0, -w);
}
std::pair<LL, LL> maxFlow(int s, int t) {
LL flow = 0, cost = 0;
while (Dijkstra(s, t)) {
int f = INT_MAX, now = t;
std::vector<int> r;
while (now != s) {
r.emplace_back(path[now]);
f = std::min(f, std::get<1>(e[path[now]]));
now = std::get<0>(e[path[now] ^ 1]);
}
for (auto i : r) {
std::get<1>(e[i]) -= f;
std::get<1>(e[i ^ 1]) += f;
}
flow += f;
cost += LL(f) * h[t];
}
return {flow, cost};
}
};

上下界网络流

无源汇上下界可行流

首先每条边先满足下界,那么对应两个节点的入流都要改变,那么为了让每个节点平衡,我们可以起源点和汇点。比如入流多了,那我们可以把它从源点给它连这么多流的边,求最大流的时候,自然就会有出的跟他中和。

这样只需在差网络中求一下最大流得到的必然是可行流

有源汇上下界可行流

从汇点到源点建一个 下界为 0,上界无穷大的边,就变成了无源汇情形

有源汇上下界最大流

求完可行流之后,再根据原始的源汇求一次最大流即可。

有源汇上下界最小流

求完可行流之后,再根据原始的源汇(源汇互换)求一次最大流即可。

(有/无)源汇上下界最小费流

附加边费用为 0,然后按照最小费用最大流跑一次就可以了。

(有/无)源汇上下界最小费用最大流

附加边费用为 0,然后按照最小费用最大流跑一次就可以了。然后再根据原始的源汇跑一次最大流即可。