矩阵的Jordan分解

最近在整理李代数(Lie Algebra) 内容时,里面提到了Jordan分解,这里就详细介绍并证明几个相关结果。

  1. 若矩阵 $A,B$ 可交换,则它们有公共特征向量。
  2. 若矩阵 $A,B$ 可以对角化,则它们可以同时对角化,当且仅当 $A,B$ 交换
  3. 每一个矩阵 $A$ 都可以唯一分解成 $A=B+C$, 其中 $B$ 可对角化(半单部分),$C$ 幂零。且 $B,C$ 都可以写成 $A$ 的无常数项的多项式。

下面证明这三个结果并给出说明其意义。

若矩阵 $A,B$ 可交换,则它们有公共特征向量。

证明:我们设 $V$ 为 $n$ 阶列向量全体。设 $\lambda$ 为 $B$ 的一个特征值。设

则对任意 $x \in W$,

即 $Ax \in W$。即 $W$ 是 $A$ 的不变子空间,因此,$A$ 在 $W$ 中有特征值 $\mu$ 对应的特征向量 $v$ 即为所求。

若矩阵 $A,B$ 可以对角化,则它们可以同时对角化,当且仅当 $A,B$ 交换.

证明:$\rightarrow$ 是显然的。现证 $\leftarrow$ 若 $A,B$ 交换。
由条件知,存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = diag(a_1 E_{n_1},\cdots,a_s E_{n_s})$。由 $A,B$ 交换知,$P^{-1}AP P^{-1}BP = P^{-1}BP P^{-1}AP$。因此

因为 $B$ 可对角化,因此 $B$ 的最小多项式无重根。所以 $B_i$ 的最小多项式也无重根。因此 $B_i$ 可对角化,存在可逆矩阵 $Q_i$ 使得 $Q_i^{-1}B_iQ_i$ 为对角阵。令 $Q = diag(Q_1,\cdots,Q_s)$,$T=PQ$,则 $T^{-1}BT$ 为对角阵。$T^{-1}AT = diag(Q_1^{-1},\cdots,Q_s^{-1})diag(a_1 E_{n_1},\cdots,a_s E_{n_s}) diag(Q_1,\cdots,Q_s) = diag(a_1 E_{n_1},\cdots,a_s E_{n_s})$
$T$ 即为所求。

Jodan分解

每一个矩阵 $A$ 都可以唯一分解成 $A=B+C$, 其中 $B$ 可对角化,$C$ 幂零。且 $B,C$ 都可以写成 $A$ 的无常数项的多项式。
证明:首先对任意矩阵,我们有Jordan标准型:对任意矩阵 $A$,存在可逆矩阵 $P$ 使得

由于 $ J_i(\lambda_i) $ 的化零多项式为 $f_i(\lambda) = |\lambda I_i - J_i(\lambda_i)|$。由中国剩余定理知。存在多项式 $f(\lambda)$ 满足 $f(\lambda) = \lambda_i (mod \; f_i),i=1,\cdots,s$ 且 $f(\lambda)= 0 (mod \lambda)$。此时

令$B=f(A),C=A-B$ 即为所求。上面的$B,C$ 是唯一的,因为,若存在$B_1,C_1$ 也满足上述条件,则 $A,B,C,B_1,C_1$彼此交换,$B-B_1 = C_1 - C$ 是幂零的,因此 $B=B_1,C=C_1$。

对于Jordan分解,我们可以将一个矩阵分为所谓的半单部分和幂零部分,而由第二条结论知道,如果 $A_1,A_2$ 可交换,那么$A_1+A_2$ 的半单部分即为 $B_1+B_2$。或者说的更明了一点就是,如果 $A,B$ 可交换,且可以对角化,则$A+B$ 也可以对角化。

想到写这些完全是因为李代数忘掉 Lie 括号本身就是一个线性空间。

欧尼酱,人家想喝可乐!