Kaplansky 定理

(非交换)环中有一个有趣的(Kaplansky)定理说:

如果环$R$中元素 $a$ 有不止一个右逆,那么 $a$ 有无数多个右逆。

像极了出轨只有零次,或者无数次。

(Kaplansky) Suppose an element $a$ in a ring $R$ has more than one right inverse. Show that $a$ has infinitely many right inverses.

(Kaplansky) 若环 $R$ 中元素 $a$ 有不止一个右逆,那么它有无数个右逆。

证明:(反证法)设 $a$ 的所有右逆构成的集合为 $A = \lbrace x \in R | ax=1 \rbrace$.

若 $A$ 有限,不妨设 $A = \lbrace x_1,x_2,\cdots,x_n \rbrace, (n>1)$ , 则

并且, 若 $1-x_ia+x_1=1-x_ja+x_1,$即$x_i a=x_ja,$ 那么$x_i=x_i(ax_i)=(x_j a)x_j$,也就是说

所以存在 $k$使得 $1- a_k a + x_1 = x_1$,即 $a_ka=1$ 所以对任意$1 \leq i \leq n$,

即所有 $x_i$都相同,矛盾与 $A$中元素个数大于1,证毕。

等价叙述: 如果环$R$中元素$a$有右逆而没有左逆,那么$a$有无穷多个右逆。

通俗的讲就是,如果你喜欢一个不喜欢你的人,那你不仅仅喜欢这个人。

欧尼酱,人家想喝可乐!