均值不等式的证明

初中就学过最简单的均值不等式 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab},a ,b \geq 0$。它的证明只需配方就知道了,这里介绍一下一般的均值不等式:

Proof:当 $n=1$ 时结论是平凡的,$n=2$ 时配方即知。$n=2^k$时不难用数学归纳法知,结论成立,下面主要看 $2^{k-1} <n< 2^k$的情况:
令 $A = \frac{ \sum_{i=1} ^n a_i}{n} $ 则,应用 $2^k$ 时的结论

化简可得到结论。

上述证明简单优美,第一次在陈纪修《数学分析》上册看到这个优美的方法。

欧尼酱,人家想喝可乐!