自然底数e的由来

自然底数 $e$ 之所以重要,我想很大程度上是因为,指数函数 $f(x)=e^x$ 是“唯一”(在常数倍意义下)满足导数等于本身的函数。因此 $e$ 被叫做自然底数。

然而,$e$ 的定义可以由一个常见的重要数列极限来定义。即

那么为什么右边极限存在呢,我们来仔细分析。

则,由均值不等式易知:

因此 $2 = a_1 \leq a_n \leq b_n \leq b_1 = 4$。由于单调有界序列必有极限,不妨把这个极限记作 $e$ 且由上面推理知 $2 < e < 4$。

补充说明

那么满足$f_n \leq e < g_n$ 的最大的$c=\frac{1}{ln⁡2}−1$,最小的$d = \frac{1}{2}$,详细证明

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欧尼酱,人家想喝可乐!