幂零矩阵的一个充要条件

前几天一个学弟告诉我,关于复数域上幂零矩阵 $A$ 的一个充要条件:

特此记录。

证明分几个小步骤:

  1. 必要性对若当块成立,若$A$为(上三角)若当块,那么取 $B=diag \lbrace 0,1,⋯,n−1 \rbrace$ 即可,若 $A$ 为分块若当块(若当标准型),那么取对应的分块 $B$ 即可。又由于

    因此,由对若当标准型成立,可知道对一般形式成立。

  2. $tr(A^k) = 0, 1 \leq k \leq n$ ,则$A$ 幂零。

    由若当标准型可知,只需证明:

    推出,$x_1 = x_2 = \cdots x_n = 0$ ,不妨设

    其中 $x_i$ 互不相同,那么,假设$r>1$则由 Vandemode 行列式不为0知,$t_i = 0$ 矛盾,因此$r=1$, 此时$x_i=0$。

  3. $C=AB-BA$ 且 $AC=CA$ 则,$C$ 幂零。

    因此由上面结论知,$C$ 幂零

  4. 综合上述结论,充分性显然。

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