正约数个数 $d(n)$

codeforce 上有一道题 。 rng_58 用一个奇妙的公式解决了这个问题。并且给出了公式的证明,这里给出另一个比较好的证明。

$d(n)$ 的一个公式

按照公式,我们有 $d(n) = \sum_{i \mid n} 1$。其实这个公式可以推广为

Proof: 数学归纳法证明:$m=1$ 时结论显然。
设结论对 $m-1$ 成立。

由数学归纳法知,原结论成立。

上面公式的一个应用

$m=2$ 的另一个公式

令 $F(n) = \sum_{i=1} ^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor $,则显然

这说明我们可以在 $O(n \log n)$ 复杂度内计算此问题。

可是 $m>2$ 就比较麻烦了。

$f(n) = \sum_{i=1} ^n d(i) = \sum_{i=1} \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$

上面这个公式有趣的是,若要求单个的 $f(n)$ 用后面一个可以在 $O(\sqrt{n})$ 复杂度解决,而如果要求 $f(1),\cdots,f(n)$ 则可以用前面一个公式在 $O(n \log n)$ 复杂度解决。

codeforce 235

求解:

如果令 $f(n) = \sum_{i=1} ^n d(i),g(n)=\sum_{i \mid n} \mu(i) f(\lfloor \frac{c}{i} \rfloor) $
那么

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
#include <bits/stdc++.h>
//#include <iostream>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int N = 2002;
int f[N],g[N*N];
bool ip[N];
int mu[N],p[N],nt[N];
void init_mu(){
mu[1]=1;ip[2]=true;p[0]=2;
for(int i=1;i<N;i+=2) ip[i]=true;
for(int i = 3,cnt = 1;i<N;i+=2){
if(ip[i]){
p[cnt++] = i;
mu[i] = -1;
}
for(int j = 1,t;j<cnt&&(t= i * p[j])<N;++j){
ip[t] = false;
if(i % p[j] == 0) break;
mu[t] = -mu[i];
}
}
for(int i=2;i<N;i+=4) mu[i]=-mu[i>>1];
}
int getsum(int n){
int sum = 0;
for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
j = n/(n/i);
sum += (j-i+1)*(n/i);
}
return sum;
}
void init(){
for(int i=0;i<N;++i) f[i]=getsum(i); init_mu();
int last = 1;
for(int i=2;i<N;++i){
if(mu[i]==0) continue;
nt[last]=i;
last = i;
}
nt[last]=N;
}
void getg(int a,int b,int c){
int n = a*b;
for(int i=0;i<=n;++i) g[i]=0;
for(int i=1;i<=n&&i<=c;i=nt[i]){ // n^2 \log n
for(int j=i,t=mu[i]*f[c/i];j<=n;j+=i) g[j]+=t;
}
}
LL getf(int a,int b,int d){
LL res = 0;
for(int i=1;i<=a;++i){
for(int j=1;j<=b;++j){
res+=(a/i)*(b/j)*g[i*j*d];
}
}
return res;
}
int main(){
init();
int a,b,c;
while(~scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)){
getg(a,b,c);
int ab = min(a,b);
LL res = 0;
for(int i=1;i<=ab;i=nt[i]){
res+=mu[i]*getf(a/i,b/i,i*i);
}
printf("%d\n",int(res%(1<<30)));
}
return 0;
}
欧尼酱,人家想喝可乐!