茶茶白

Sage的是“ 圣”的意思，所以SageMath懂啥意思了吧，上流！哈哈。SageMath 整合了当前开源的所有高效包，用来取代MATLAB（20G)，Mathematics(5G）等商业软件。 而SageMath安装包仅1G不到，而且语言基于Python，就很快乐。而且你还能免费注册账号用基于Jupyter Notebook的SageMath在线版: Cocalc 感谢知乎好友Vivr0 的推荐 SageMath的安装，入门教程在官网很容易就找到了，而且下载提供国内镜像下载地址，特别友好。除了入门教程，还有专题教程。语言和Python几乎一致。不用一致import，内建的特别好。文件格式：.sage Macos or Linux 上用 sage 会更加快乐！WSL就没法用Jupyter了，不过也还行！ SageMath特征 交互界面下，有赋值就不输出，表达式会输出(调用__repr__方法) ZZ,QQ,RR,CC分别表示整数，有理数，实数，复数 Tab补全，vim 姿势退出，git姿势复制粘贴，很上流 ^ 等同 **，^^表示xor, / 表示分数的除。其它和Pytho ...

放弃Julia之后，我开始想要用 Python + ctypes 满足自己的需求。由于Windows搞这个很麻烦，就在Ubuntu上搞了，不过我是在WSL上做的哈哈。 Python调用C示例ctypes 官方中文文档中选择自己Python对应版本的文档。有很清晰的描述，然后在pythonlab.com 中很直观的例子： 12345678910// add.cint add_int(int num1, int num2){ return num1 + num2;}// add.cppextern "C" int add_int(int num1,int num2); // 这样就不用改之前的代码了！int add_int(int num1, int num2){ return num1 + num2;} 由于C++支持函数重载功能，在编译时会更改函数名。 所以在函数声明时，前缀extern “C”则确保按C的方式编译。 然后把上面 add.c/add.cpp 编译成 .so 文件： 123#For Linux$ gcc -fPIC ...

和Julia的一夜情结束了0.0 ，渣男茶茶白拥抱 SageMath咯 学完Python之后，觉得Python更像一个工具箱，啥都能干，但是我真的需要一个（轻量级）科学计算的工具，而不是像Matlab一样的付费巨无霸（我不想再用盗版软件了，学校正版Matlab 2020 20G吃不消！）而C/C++在科学计算中因为原生精度问题，又没有特别权威的高精度包，所以也不太行。我甚至有自己学着去开发一种新型语言来打破当前尴尬的局面，直到我知道了Julia ，已分手，理由： 有C快吗？没有！有Python方便吗？没有！安装个包就跟求它借100w一样（国内源安装不了） 免费是取代MATLAB，Mathematics的理由吗？不是，收费是一件好事！！！ 学术界的高性能计算的人员，它们学校至少买了MATLAB或者Mathematics好吧！ 非上述人员，真的需要高性能计算吗？？？再说了真的性能高吗？向量化计算竟然还没有循环快，我吐了好吧 我会的语言我已经会写，C/C++，Matlab，Python了，接触过Java, Swift, Lua(现在全忘了)。又要新学一门语言其实我是抵触的，并且Ju ...

由线性无关性，我们不难知道 $|GL_n(\mathbb{Z}_p)| = \prod_{i=0} ^{n-1} (p^n-p^i)$，但是$|GL_n(\mathbb{Z}_m)|$ 却是一个相对复杂的问题，它本质上是在考虑有限Abel群的自同构群的阶数问题。它又跟递推数列模$m$的周期密切相关。 2007年 CHRISTOPHER J. HILLAR AND DARREN L. RHEA 发表一篇论文《AUTOMORPHISMS OF FINITE ABELIAN GROUPS》 完美的解决了这个问题。 有限生成Abel群结构定理设$G$是一个有限Abel群，那么$G$ 同构于一些 H_p = \mathbb{Z}_{p^{e_1}} \times \cdots \mathbb{Z}_{p^{e_n}}的乘积。其中$p$ 是素数（$p$ 一般默认为素数），$1 \leq e_1 \leq \cdots \leq e_n$ 是正整数。 证明可见任意一般抽象代数（或近世代数）书。 乘积的自同构若$H$ 和 $K$ 是有限群，且它们的阶数互素。那么我们就有同构： Aut ...

我们可以在不求出不超过$x$的所有素数的情况下，求出最终结果。 f_k(x) \doteq \sum_{p \leq x} p^k $f_0(x) = \pi(x)$ 这个在 $\pi(x)$ 的计算 $f_1(x) = \sum_{p \leq x} p$ 这是我们关心的结果 对于一般的$k$ 借助 自然数方幂和快速算法 也可以求 $f_k(x,s)$： 最小素因子大于$p_s$ 且不超过$x$ 的数的$k$次方和。 f_k(x,s) = \sum_{m \leq x, \delta(m)>p_s} m^k其中， $\delta(m)$ 表示$m$的最小素因子（约定 $\delta(1) = + \infty$）。 $f_k(x,s)$ 的递推公式： \begin{align} f_k(x,s) &= \sum_{m \leq x, \delta(m)>p_s} m^k \\ &= f(x,s-1) - \sum_{m \leq x, \delta(m) = p_s} m^k \\ &= f(x,s-1) - p_s ^k f(\frac{x}{p_s},s-1) \end{a ...

在知乎上看到一个有趣的问题: 如何证明这个数列无界？ 在此记录一下简单的做法，然后把这篇博客记录以后遇到的一些特殊数列。 证明：当$x$是无理数时，$f_n(x) = \sum_{i=1}^n (-1)^{\lfloor ix \rfloor} $ 无界 $\lfloor x \rfloor$ 表示 $x$ 的整数部分， $0 \leq \lbrace x \rbrace \doteq x- \lfloor x \rfloor<1 $ 表示 $x$ 的小数部分 为了更顺畅的介绍这个数列，我们先来点前戏，不然插入的时候就不那么顺滑了0.0不要笑，我没有开车0.0 连分数 它和Farey序列，无理数的有理逼近，密切相关 我们将一个整数序列 $a_0,a_1, \cdots, a_n$ 构成的分数叫做连分数，记作 [a_0,a_1,\cdots, a_n] = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \cdots}}其中$a_0$ 是整数， $a_i (i>0)$是正整数。 我们定义: $p_0 = a_0,p_1 = a_1a_ ...

在知乎的数学&算法专栏里看到点灯游戏的$O(n^3)$算法 ，觉得挺有意思，特此记录，并且补充代码 点灯游戏简介一层大楼共有$n \times n$个房间，每个房间都有一盏灯和一个按钮。按动一个房间的按钮后，这个房间和周围四个相邻的房间的灯的状态全部都会改变（由暗变为亮或者亮变为暗）。目标是通过按按钮把所有的灯都点亮（默认情况下全暗）。求点灯方案。 全局枚举，复杂度 $O(2^{n^2})$ 首行枚举，复杂度 $O(2^n)$ ，由于第一行的方案就决定了下一行的方案 线性方程组求解，复杂度 $O(n^6)$ 上述线性方程组求解可以转化成$n$ 个变量的线性方程组，复杂度 $O(n^3)$ 以上内容取自 点灯游戏的$O(n^3)$算法 最终方案做法概括：$n^2$ 个方程 $n^2$ 个未知数的线性方程组，由于用第$i$行的方程可以将第$i+1$行的未知数表示成前 i 行的线性组合，从而是第一行的现行组合，这样到最后一行。最后一行的方程还未使用，从而变成了$n$个方程$n$个未知数的线性方程组。 由于方案可能不唯一，所以用Python自带的numpy以及scipy都不 ...

我知乎上看到 怎么用 Python 把图片转化为字符？ 挺有趣的，自己也尝试了一下，当然他也是参考这里。 原理就是：将图片（位图）转化成灰度图，即 0~255的数值，然后将这些数值换成特殊符号（自定义） 123456789101112131415161718192021222324252627282930313233# imageToChar.py 使用说明：# 把图片(例如xx.png)和这个文件放在同一文件夹中# 命令行进入上面的文件夹路径输入# py imageTochar.py xx.png (自选宽度：78，可不填)from PIL import Imagechars = ['z', 'l', 'y', '#', '?', '*', '+', ';', ':', ',', '.']def resize(image, newW): (w, h) = image.size # 0.58 大致是单个字符在DOS界面的宽高比 newDim = (newW, int(0.58*h*newW/w)) newImg = image.resize(newDim) ...

很早之前写过 $\pi(x) 的计算$ ，在知乎上用它回答问题的时候，发现我怎么没有写 求第$n$ 个素数。 做法依赖于 $\pi(x)$ 的计算，$\pi(x)$ 表示不超过$x$ 的素数个数 素数定理( 这里就不证了)： \lim _{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln x} = 1从而我们知道： \lim _{x \to \infty} \frac{p_n}{n \ln n} = 1其中，$p_n$ 为第$n$ 个素数，显然$p_n$ 是$\pi(x) = n$ 最小的解。 $p_n$ 求解： 预处理小于 N 的素数 初始值 $n\ln n$ 牛顿梯度法 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192#include<bits/st ...

悄悄话 de0af34fc90a03bd4aa89b914dc3631985adf10cfbbd2c0c17c3da3aff4ff3553c18cc8e17755c6d30455e4191fc2a2a76dadb6da84eaf419e5a63b12b3a3d805545f31bae52ee026be4299894d7fbeefdb79ed5270a2b826e2cd90a76ccc448ec6650e1eac14c5e12176b21e5ec19740762455d4d58f1f6c422a104bb445071dab75846c51e41d1ca2d31e136d534a53802afbd320dec8f332c39c2ae6890c9f8f506ef2dd7c8bef61a89c861b37001f1b8f5f8dd98ee73c6e0dc1dabf5e7abcbfdba429525544c51276f3838d75b191a1a92d1b0006c2780b09f6d1d5ae18b66339ee86811097350cd48cdfe2 ...