Zariski Topology on $k^n$

$k^n$ 最常见的拓扑自然是欧式拓扑,但是下面介绍的Zariski拓扑也是十分重要和“常见”的拓扑,并且它也保持了很多自然的性质,又有其独特的地方,值得了解一番。

详见 Jacobson《Basic Algebra 2》

Zariski Topology

给定一个交换环 $A$ ,$Spec(A)$ 表示 $A$ 理想全体构成的集合,带上一个 Zariski topology,拓扑中闭集为所有形式

的集合,那么它必然会满足拓扑关于闭集的公理。

$k^n$上的Zariski拓扑

由于 $k^n=\lbrace(a_1,a_2,\cdots,a_n)| a_i \in k \rbrace$ 到$k$的多项式函数与 $k[x_1,x_2,\cdots,x_n]$同构。所有 $k^n$上的拓扑

本质上是由交换环$k[x_1,x_2,\cdots,x_n]$的Zariski 拓扑所确定。

  1. $V(k[x_1,x_2,\cdots,x_n]) = \emptyset$;$V(\emptyset)=k[x_1,x_2,\cdots,x_n]$

  2. $\cap_{i \in I} V(S_i) = V(\cup_{i \in I} S_i)$

  3. $V(S) = V(I(S))$; for ideals$I_1,I_2$,$V(I_1) \cup V(I_2) = V(I_1 I_2)$

所以,上述$V(S)$全体作为闭集构成了$k^n$ 的一个拓扑,称为 $k^n$ 上的Zariski拓扑。

性质(设$k$是代数闭域)

  1. 拓扑基: $k^n$中开集有形式$k^n \setminus V(S) = \cup_{f \in S} O_f$其中 $O_f = k^n \setminus V(f)$为开集。因此 ${O_f|f \in k[x_1,x_2,⋯,x_n]}$构成了$ k^n$上的拓扑集

  2. $k^a$是 $T_1$空间。

  3. $k^n$是不可约空间,即有限个非空开集交集非空。

  4. $k^n$多项式映射在Zariski拓扑下连续。

欧尼酱,人家想喝可乐!